数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨

王 霞，张启虎

（郑州轻工业学院 数学与信息科学系，河南 郑州 450002）

数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨

王 霞，张启虎

（郑州轻工业学院 数学与信息科学系，河南 郑州 450002）

数值分析中牛顿迭代法是求解非线性方程的基本方法．与一般教材上牛顿迭代法的引入方法相比，用积分方程引入牛顿迭代法更能体现数值计算中的“近似”和“构造”思想，便于进一步介绍牛顿法的各种改进形式，有利于学生“创新”算法能力的培养和创新意识的形成．

非线性方程；牛顿迭代法；数值分析；效率指数；方程求根

数值分析是理工科学生必学的一门重要课程．数值分析课程要求学生掌握具体数值计算的方法与理论，强调算法的实际应用．数值分析课程的学生群体可分为两类：一类是信息与计算科学等专业的理科学生，其学习目标是“研究”和“创新”算法；另一类是工科学生，其主要学习目标是掌握算法的使用．这两个群体的学习目标不同，教学内容及侧重点也应有所区别．

科学研究和工程计算中常常遇到求解非线性方程（组）的问题．数值分析教材中，牛顿迭代法（CN法）[1―11]是求解非线性方程

的一种基本方法，其迭代格式为

(2)式二次收敛于方程(1)的单根，因其收敛速度快，所以牛顿迭代法被广泛应用于非线性方程的求解．牛顿迭代法的引入方法直接关系到学生对此内容的理解和应用，因此，本文主要探讨牛顿迭代法的引入方法．

1 牛顿迭代法的常见引入方法

牛顿迭代法是“非线性方程”这一章的重要一节，由于与其他章节的联系很小，所以在不同数值分析教材中该章所处位置也不同．文[1―4]将该内容放在“数值积分与数值微分”之后，文[5―11]将其放在“数值积分与数值微分”之前．

牛顿迭代法的常见引入方法可概括为以下4种：

方法1 直接给出迭代函数的具体形式[1―2]．文[1]中，直接选取迭代函数，其对应的迭代格式为(2)式；文[2]直接给出了(2)式．

方法2 利用泰勒公式导入牛顿迭代法[3―8]，其基本思路是：设方程(1)的近似根为 xn，将函数 f(x)在xn处作泰勒展开，有

用前面两项近似表示f(x)，得近似线性方程

设 f′(xn)≠ 0，令其解 x=xn+1，则得(2)式．

方法3 利用校正技术引入牛顿迭代法[9]，基本思路是：设方程(1)的近似根为xn，其校正值 xn+1=xn+Δx能更好地满足方程(1)，即 f(xn+1)≈ 0.将方程(1)的左端用 f(x)在 xn处的微分 f(xn)+ f′(xn)Δx来代替，则有 f(xn)+ f′(xn)Δ x=0，于是

整理可得(2)式．

方法 4 引入一般的带待定函数的迭代函数，通过提高迭代法的收敛阶确定待定函数[10―11]，其基本思路是：由方程(1)总可以构造迭代函数

其中k(x)为待定函数，因为

且|φ′(x)|在根α附近越小其局部收敛速度越快，故令φ′(α)=0，从而k (α)=1/f′(α)，f ′(α)≠0，于是得到迭代函数x=φ(x)=x − f(x)/f′(x)，从而得到(2)式．

对于以上的4种方法，方法1直接给出迭代函数，适用于使用“算法”的学生，而对于“研究”和“创新”算法的学生来说是不适用的；方法2利用泰勒公式引入牛顿迭代法，利于激发学生“创新”算法的兴趣；方法3一步步逼近问题的解，能够使学生深刻体会逐步逼近的数学思想；方法4能使学生更清楚地理解收敛阶的概念．

2 牛顿迭代法的积分引入法及牛顿迭代法的改进

2.1 牛顿迭代法的积分引入法

下面给出一种新的引入牛顿迭代法的方法[12]，此方法的引入需要以数值积分的知识作为基础，也就是说要把“数值积分与数值微分”这一章放在“非线性方程的数值解法”之前讲授．

令α是光滑函数 f(x)的零点，考虑方程 f(x)=0的数值解．由牛顿定理，显然有

将(4)式右端的积分值用数值积分中的左矩形公式近似代替，并令x=α，可得0 ≈ f(xn)+(α − xn)f′(xn)，从而解出α≈ xn− f(xn)f′(xn).令 α=xn+1，即可得到

这样，由积分方程和牛顿定理，利用数值积分中的左矩形公式就引入了牛顿法．这样的引入方法会带给学生这样一个思考：左矩形公式（或右矩形公式）是数值积分的一个简单的代替，其精度较低，因此得到的牛顿迭代法的收敛阶也较低，如果用精度较高的梯形公式近似代替(4)右端的积分项，能否得到更高阶的迭代公式呢?

2.2 牛顿迭代法的改进

其中 n=0，1，2，… ．(5)式的迭代需要隐式计算，这会给求解带来很大麻烦，为避免隐式计算，下面给出预估–校正的方法，即

其中 n=0，1，2，… ．可以证明(6)式为三阶收敛，它是对牛顿迭代法的改进，其效率指数为，大于牛顿法的效率指数与(6)式对应的方法称为梯形牛顿法或代数平均牛顿法（AN法）[12]．

沿着此思路，学生自然能想到两个数的平均不只代数平均．这时，教师可介绍调和平均牛顿法、几何平均牛顿法等．

用 f′(xn)和 f′(zn)的调和平均值代替 f′(xn)，可得到调和平均牛顿法（HN法）[13]，即

用 f′(xn)和 f′(zn)的几何平均值代替 f′(xn)，可得到几何平均牛顿法（GN法）[14]，即

与一般教材上牛顿迭代法的引入方法相比，用积分方程引入牛顿迭代法更能体现数值计算中的“近似”和“构造”思想，便于进一步介绍牛顿法的各种改进形式，有利于学生“创新”算法能力的培养和创新意识的形成．

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〔责任编辑 张继金〕

G642，O241.7

A

1006-5261(2010)05-0073-02

2010-01-14

河南省教育厅自然科学基金项目（2008-755-65）；郑州轻工业学院教改项目

王霞（1970―），女，河南开封人，副教授．