改进曲线积分和曲面积分的教学──形象的微元和向量

孙铭娟

（解放军信息工程大学理学院 数理系，河南 郑州 450002）

改进曲线积分和曲面积分的教学──形象的微元和向量

孙铭娟

（解放军信息工程大学理学院 数理系，河南 郑州 450002）

本文尝试对多元积分的教学加以改进，从微元和向量的角度，突出曲线积分和曲面积分的物理意义与几何直观.

曲线积分；曲面积分；微元；向量

1 背景及本文主要内容

微积分在一百多年前就已经奠定，内容非常成熟.传统的讲述方式只注重数学上的严格与精确，而忽略了物理直观与几何直观，从而导致计算烦琐，学生不易理解与掌握.事实上，在微积分的教学中，对概念的直观理解与计算是同等重要的，只有突出物理意义与几何直观，才能将各种实际问题迅速转化成数学问题，用微积分的知识加以解决.因此，在21世纪的今天，对微积分的教学，尤其是多元微积分的教学，必须加以改进.

实际上，国内外学者对微积分的教学一直在不断改进，新观点的教材层出不绝.国内的如龚昇教授的《简明微积分》把ε-δ，ε-N的定义推后，用直观的语言讲解微积分的主要内容.国外的如哈佛大学的《单元微积分》和《多元微积分》例子丰富，强调生活实际，很有新意.

龚昇教授的《简明微积分》给笔者极大的启发.在数学教学中，直观形象与数学严格是一对矛盾.在适当的时候，增添一些直观，牺牲一点精确，非常有利于对数学的理解和应用.由此，笔者尝试在多元微积分的教学中，着意突出多元积分的物理直观，而把一些严格的数学推导置后讲解.这样做，能使学生对多元微积分有着形象深刻的理解，从而便于应用.

本文首先利用微元的思想，即线元，面元，体元来统一处理曲线积分和曲面积分，并强调其向量形式，同时对多元积分的定义及计算的教学加以改进，最后还要对格林公式，斯托克斯公式，高斯公式加以“物理”证明，与物理说明.

2 多元积分的定义和计算

在多元积分中，由于生活空间是三维的，因此，三元以内的积分是最重要的.在三维空间中，基本的几何单位是长度，面积，体积.与此对应，我们用线元ds，面元dS，体元dV等微元观点来统一处理各种积分.具体说，即用线元处理第一类曲线积分、第二类曲线积分；用面元处理二重积分、第一类面积分、第二类面积分；用体元处理三重积分.同时，由于向量形式便于理解和记忆，我们还把第二类线积分、第二类面积分写成向量形式.

2.1 第一类线积分，第二类线积分

贯穿第一类线积分，第二类线积分的是线元的概念，我们对定义分别加以叙述，阐述对定义的理解和积分的计算.

2.1.1 第一类曲线积分

（1）引例与定义：设曲线形铁丝C的线密度为数量函数f(x,y,z)，求其质量.把曲线C分成n段△s1，△s2…，△sn，第i段的质量近似为f(xi,yi,zi)，当所有小段的最大长度趋向于零时，总质量

由引例给出第一类曲线积分的定义，并把条件补充完整，强调第一类曲线积分是特殊的和式极限（以下定义都是同样方法给出）.

（2）计算：当曲线有参数形式c(t)=(x(t),y(t),z(t)),t∈[a,b]时，曲线c(t)的弧长微元，此时，

2.1.2 第二类曲线积分

（1）引例与定义：设一单位质点在力场F中沿曲线C运动，计算F对质点做的功.用s0,s1,…,sn把曲线C分成n段，F在第i段即从si-1到si上所做的功近似为F(si)·△si△s1，△si为从si-1到si的向量，当划分越来越细,小段的最大长度趋向于零时，总功为

（2）计算：若曲线C的参数形式为c(t)，ds的参数形式为c'(t)，此时

第二类和第一类曲线积分本质上没有区别，由此出发，还可以有别的线积分，比如，fds（f是数量函数）等等.

2.2 第一类曲面积分，第二类曲面积分

2.2.1 第一类曲面积分

（1）引例与定义：设一曲面S物质分布面密度为f(x,y,z)，计算物质总质量.把S分成n小块，S1,S2,…,Sn.Si的质量近似为f(xi,yi,zi)△Si，当小块面积最大值趋于零时，总质量

（2）计算：当曲面S有参数形式Φ(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u, v)∈D哿R2时，面积微元DS=||Φu×Φv||dudv，此时

当曲面S形式为z=g(x,y),(x,y)∈D奂R2时，可以把S参数化为x=u,y=v,z=g(umv),(u,v)∈D奂R2.此时，经计算，面元为，于是

2.2.2 第二类曲面积分

（1）引例与定义：考虑流体流速为F穿过空间中曲面S的流量，即单位时间穿过曲面的质量.为简单起见，设流体密度为单位1，只须计算单位时间内穿过曲面S的体积.把S分成n小块，S1,S2,…,Sn.流体穿过Si的体积为F·n△Si（n为Si

（2）计算：当曲面S有参数化形式Φ(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z (u,v)),(u,v)∈D哿R2时，面积微元dS=||Φu×Φv||dudv,而单位法向量dudv，其中±取决于曲面的法向量的指向.

例如，当曲面S形式为z=g(x,y),(x,y)∈D奂R2时，可以把它可以看成参数形式x=u,y=v,z=g(u,v),(u,v)∈D奂R2，就可以应用上一段的结论了.

2.3 第二类曲线积分，第二类曲面积分的微分形式写法

2.3.1 第二类曲线积分的微分形式写法

2.3.2 第二类曲面积分的微分形式写法

可以把第二类曲面积分写成微分形式，即

当曲面S有参数化形式Φ(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))(u,v)∈D哿R2时，

其中

如何来理解这个复杂的表示式呢？

3 多元积分中的基本公式“格林公式，斯托克斯公式，高斯公式”

3.1 梯度，散度，旋度及其物理意义

梯度，旋度，散度作用在相应的数量函数或向量函数以后，是向量或数量，不依赖于坐标系.梯度能表示数量场的变化率，其方向是数量场变化最快的方向可以认为是向量算符塄的三个分量，把算符作为向量看待，则很多运算可以更简便些，比如旋度可以看成塄和(f1,f2,f3)的外积，散度可以看成塄和(f1,f2,f3)的内积.

旋度能表示向量场的旋转，散度能表示向量场在一点的流量.旋度，散度具体的物理意义我们将在下一节里进行详细的说明.

3.2 格林公式，斯托克斯公式，高斯公式

3.2.1 格林公式，斯托克斯公式，高斯公式的向量形式和微分形式

（1）斯托克斯公式（向量形式）：设S是一空间曲面，n是其单位法向量,F是S上的光滑向量场，C对于区域S正则定向，则有ndS，其中τ是曲线C上的单位切向量.

斯托克斯公式（微分形式）：设S是空间中一曲面C对于区域S正则定向，其中F=F1(x,y,z)dydz+F2(x,y,z)dzdx+F3(x,y, z)是S上的光滑向量场，则有

上述微分形式的积分我们已经定义过了.

（2）高斯公式（向量形式）：设Ω是封闭曲面S包围的空间区域，n是S向外的单位法向量，F是Ω上的光滑向量场，

（3）格林公式（向量形式）:设S是平面上的一个区域，C是其正则定向的边界，F=(P(x,y),Q(x,y))是S上的光滑向量场，n是S的单位法向量则有.注

格林公式（微分形式）：设D是平面上的一个区域，C是其正则定向的边界，F=(P(x,y),Q(x,y))是D上的光滑向量场，则有

从这里我们可以看到，向量形式的格林公式，斯托克斯公式，高斯公式便于记忆和理解.

3.2.2 散度，旋度的物理意义

由高斯公式可以看出散度div的物理意义：在空间中一点处考虑散度，设Bε是以此点为中心的小球，Sε是球面，根据高斯公式得，对等式右端使用积分中值定理，得，（其中ξ是球Bε内的点，Vol(Bε)表示Bε的体积），于是，注意表示向量场F在球面Sε内的通量（流量）.

由斯托克斯公式可以看出旋度curl的物理意义：在空间中一点处考虑旋度，考虑任一给定的单位向量n，Cε是垂直于此单位向量的圆周，Sε是Cε所围成的圆盘，根据由斯托克斯公式，得，由积分中值定理，

〔1〕龚昇.简明微积分（第四版）.北京：高等教育出版社，2006.

〔2〕同济大学.高等数学（下册)(第六版).北京：高等教育出版社，2007.

〔3〕William G.McCallum Deborah Hughes-Hallett等.微积分.北京：高等教育出版社，2000.

〔4〕William G.McCallum Deborah Hughes-Hallett等.多元微积分.北京：高等教育出版社，2004.

〔5〕J.Marsden,A.Tromba.Vector Calculus(Fifth Edition).New York:W.H.Freeman and Company,2003.

O172.2

A

1673-260X（2010）05-0009-03