一类广义集值混合隐似变分不等式的迭代算法

王继红，何中全

(西华师范大学数学与信息学院，四川南充 637009)

一类广义集值混合隐似变分不等式的迭代算法

王继红，何中全†

(西华师范大学数学与信息学院，四川南充 637009)

在Banach空间中，运用辅助变分原理技巧，研究了一类广义集值混合隐似变分不等式的迭代算法，并且在局部松弛Lipschitz连续的条件下，证明了该迭代序列的强收敛性定理．

广义集值混合隐似变分不等式；集值映射；松弛Lipschitz连续

近年来，变分不等式理论已成为研究线性与非线性问题的有效工具，它为我们研究流体力学、运筹学、数学规划、管理科学等领域中的问题提供了一个简单、自然和统一的框架．对变分不等式理论的研究有许多方法，如投影技术、辅助变分原理、Wiene-Hopf方程技巧等．已熟知，投影方法是最有效的数值方法之一，但它不能用于研究一般混合型变分不等式问题．因此，许多学者就去发展辅助变分原理技巧来研究各种变分不等式问题的逼近解[1-7]．例如，文献[6]研究了一类广义混合隐拟变分不等式解的存在性及迭代算法，文献[7]研究了一类集值非线性混合变分包含问题的逼近解．本文运用辅助变分原理技巧，在Banach空间中，研究了一类广义集值混合隐似变分不等式的迭代算法，并在局部松弛Lipschitz连续的条件下证明了该迭代序列的强收敛性定理．

1 预备知识

设E为Banach空间，E∗为其共轭空间，‖⋅‖表示E中的范数，〈⋅,⋅〉表示E与E∗中元素的配对，C( E∗)表示E∗中的一切非空有界闭子集族．设T, A, S: E→C( E∗)是集值映射，N: E∗× E∗×E∗→E∗，g: E→E，η,h: E×E→R是单值映射．考虑如下的广义集值混合隐似变分不等式问题：

求x∈E, u∈T( x), v∈A( x), s∈S( x)，使得下面的不等式恒成立：

其中h(⋅,⋅):E×E→R 满足下面的性质：

i）h(⋅,⋅)关于第一变元是线性的；

ii）h(⋅,⋅)关于第二变元是凸的；

问题（1）包含了以下一些特殊情形：

1）当N( u, v, s)=N( u, v)+f∗(s)，其中f∗(s)∈E∗，且g为恒等映射时，问题（1）退化为求x∈E, u∈T( x), v∈A( x), s∈S( x)，满足：

该问题在文献[3]中讨论过．

2）当N( u, v, s)=p( u)−(f( v)−q( s))，且g为恒等映射时，问题（1）退化为求x∈E, u∈T( x), v∈A( x), s∈S( x)，满足：

该问题在文献[8]中讨论过．

3）当N( u,⋅,⋅)=Tu, T 为单值映射，h( x, y)是E的指示函数，即

且g为恒等映射，η(y, x)=y−x 时，问题（1）退化为求x∈E，使得〈Tx, y−x〉≥0,∀y∈E．这是经典变分不等式问题．

总之，适当选取N,η,g, h，就可以获得许多新的与已知变分作为特例的变分不等式问题．

定义1[3]设T: E→C( E∗)是集值映射．

1）称T是松弛Lipschitz连续的，如果存在λ＞0使得

2）称T是η-松弛Lipschitz连续的，如果存在δ＞0，使得

定义2 设T: E→C( E∗)是集值映射，N: E∗×E∗×E∗→E∗是单值映射，映射N在第一变元关于T是η-局部松弛Lipschitz连续的，如果存在σ＞0使得

同理可定义N在第二、第三变元分别关于A、S是η-局部松弛Lipschitz连续的．

定义3[4]T: E→C( E∗)是集值映射，称T是σ1-g-Lipschitz连续的，若存在σ1＞0，使得

其中H(⋅,⋅)是C( E∗)上的Hausdorff度量．

为获得结果，需要如下的假设：

假设1 对单值映射N: E∗×E∗×E∗→E∗,η:E×E→E 满足：

3）η(u, v)=−η(v, u),∀u, v∈E．

2 辅助问题及算法

针对问题（1），考虑如下辅助变分不等式问题Q( x, u, v, s)：

给定x∈E, u∈T( x), v∈A( x), s∈S( x)，求ω∈E，使得其中ρ＞0，是常数．

引理1[4]设E是自反的Banach空间，函数h(⋅,⋅)满足条件i）至iv），若假设1满足，则对任意给定的x∈E, u∈T( x), v∈A( x), s∈S( x)，存在ω∗∈E, g(ω∗)∈E ，使得辅助变分不等式问题Q( x, u, v, s)有解．

根据引理1，构建广义集值混合隐似变分不等式问题的迭代算法如下：

算法1 给定x0∈E, u0∈T( x0),v0∈A( x0),s0∈S( x0)，则问题（1）的逼近解序列{xn},{un}, {vn},{sn}由如下方式确定：

其中ρ＞0是常数，n∈N，H(⋅,⋅)是C( E∗)上的Hausdorff度量．

3 存在性及收敛性定理

定理1 设E是自反的Banach空间，{xn},{un},{vn},{sn}是由算法1生成的解序列．如果T: E→C( E∗)是σ1-g-Lipschitz连续的，A: E→C( E∗)是σ2-g-Lipschitz连续的，S: E→C(E∗)是σ3-g-Lipschitz连续的，N: E∗×E∗×E∗→E∗关于第一变元和第二、第三变元均是连续的，且映射N在第一变元关于T是k1-η-局部松弛Lipschitz连续的，在第二变元关于A是k2-η-局部松弛Lipschitz连续的，在第三变元关于S是k3-η-局部松Lipschitz连续的，函数h(⋅,⋅)满足条件i）至iv），并且假设1成立，若k1+k2+k3＞r ＞0,则存在x∈E, u∈T( x), v∈A( x), s∈S( x)，满足广义集值混合隐似变分不等式问题（1），并且有g( xn )→g(

证明：由（4）式知，对∀y∈E有：

证毕．

注：上述定理去掉了文献[1]中N为强单调性的条件，只需N是局部松弛Lipschitz连续的即可，且证明过程更为简洁．

[1] Zeng L C. Existence and algorithm of solutions for generalized set-valued strongly nonlinear mixed variational-like inequalities [J]. Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2006, 23(2): 324-332.

[2] Huang N J. Auxiliary principle and iterative algorithms for generalized set-valued strongly nonlinear mixed variational-like inequalities [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2001, 256(2): 345-359.

[3] 方长杰, 郑继明, 吴慧莲. Banach空间中一类广义集值非线性混合似变分不等式解的存在性与算法[J]. 四川师范大学学报: 自然科学版, 2007, 30(1): 40-44.

[4] 曾六川. 一般多值混合隐拟变分不等式解的存在性与算法[J]. 应用数学和力学, 2003, 24(11): 1170-1178.

[5] 徐海丽, 郭兴明. 广义集值混合似变分不等式的辅助原理和三步迭代算法[J]. 应用数学和力学, 2007, 28(6): 643-650.

[6] Ding X P. Existence and algorithm of solutions for generalized mixed implicit quasi-variational inequalities [J]. Applied Mathematics and Computation, 2000, 113: 67-80.

[7] 张从军, 孙敏. 一类集值非线性混合变分包含问题的逼近解[J]. 应用数学和力学, 2005, 26(9): 1121-1127.

[8] Ahmad R, Irfan S S. On generalized set-valued nonlinear variational-like inequality problems [J]. Applied Mathematics Letters, 2006, 19(4): 294-297.

Iterative Algorithm for A Set of Generalized Set-valued Mixed Implicit Variational-like Inequalities

WANG Jihong, HE Zhongquan
(College of Mathematic and Information, China West Normal University, Nanchong, China 637009)

In Banach space, auxiliary variational principle was used to study iterative algorithm for a set of generalized set-valued mixed implicit variational-like inequality. And strong convergence theorem of iterative sequence was proved under the condition of partially relaxed Lipschitz continuity.

Generalized Set-valued Mixed Implicit Variational-like Inequality; Set-valued Mapping; Relaxed Lipschitz Continuity

O177.91

A

1674-3563(2010)02-0011-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2010.02.003 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2009-07-04

王继红(1980- )，男，陕西渭南人，硕士研究生，研究方向：非线性泛函分析．† 通讯作者，Lingjian shanshui@126.com