若干重要不等式等价性证明及其应用

赵焕光，王 娜

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

若干重要不等式等价性证明及其应用

赵焕光，王 娜

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

证明了平均值不等式、Young不等式、Hölder不等式、柯西不等式、Radon不等式与幂平均不等式等一系列重要不等式的相互等价，并举例说明其应用．

重要不等式；等价；证明

众所周知，平均值不等式、Young不等式、Hölder不等式、柯西不等式、Radon不等式（也称权方和不等式）、幂平均不等式等一系列重要不等式在不等式研究中具有举足轻重的地位[1-2]，应用非常广泛[3-6]．实际上，这些重要不等式都是相互等价的，只不过是用表面上看起来差异很大的方式进行表述．从本质上说，它们都是关于凸函数f(x)=ex的Jensen不等式[2]的特例．本文将给出这些重要不等式相互等价的等价性证明，并举例说明其应用．

1 主要结果

定理 下述命题成立，而且相互等价：

1）加权AG不等式

2）Young不等式

3）Hölder不等式

4）Cauchy不等式

5）Radon不等式之一

6）Radon不等式之二

7）加权幂平均不等式之一

8）加权幂平均不等式之二

2 定理证明

众所周知，函数f(x)=ex是最为典型的凸函数（∵f′′(x)=f′(x)=f (x)=ex）．由凸函数的定义或Jensen不等式[2]有：

因此Young不等式成立．下面证明等价性．

1）⇒2）：显然．

3）⇒4）：显然．

7）⇒8）：显然．

8）⇒1）：已证．

这样就完成了等价性证明．

3 应用举例

上述系列重要不等式的应用非常广泛，这里仅举若干例用来说明Radon不等式之一在求解国际数学奥林匹克试题中的应用．

推论 下述命题成立：

由Radon不等式之一可得：

2）由Radon不等式之一有：

证毕．

[1] Hardy G H, Littlewood J E, Pölya G. 不等式[M]. 赵民义, 译. 2版. 北京: 人民邮电出版社, 2008: 9-22.

[2] 匡继昌. 常用不等式[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 2004: 3-42, 348-357.

[3] 甘志国. 初等数学研究: I [M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2008: 384-388.

[4] 李胜宏. 平均值不等式与柯西不等式[M]. 上海: 华东师范大学出版社, 2005: 1-68.

[5] 罗增儒. 柯西不等式的证明与应用[J]. 中等数学, 2008, (11): 8-11.

[6] 蔡玉书. 几个重要不等式与不等式的证明[J]. 中等数学, 2009, (5): 6-11.

Equivalence Proofs and Their Applications of Some Important Inequalities

ZHAO Huanguang, WANG Na
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

The mutual equivalences among mean value inequality, Young’s inequality, Hölder inequality, Cauchy’s inequality, Radon inequality and power mean inequality and so on were proved. And their applications were illustrated by examples.

Important Inequality; Equivalence; Proof

O122.3

A

1674-3563(2010)02-0006-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2010.02.002 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2009-09-11

赵焕光(1955- )，男，浙江瑞安人，教授，研究方向：数学教育，泛函分析