2010年数学高考中有关平面向量的试题评析

●张传鹏 (杭州外国语学校 浙江杭州 310023)

2010年是新课程改革全面推进的一年，继2009年天津、福建、安徽、辽宁和浙江5省市进行了新课改高考后，2010年又有北京、湖南、黑龙江、吉林和陕西等4省进行了新课改启动后的首次新高考.与2009年全国各地的高考试卷相比，2010年全国各地数学高考试卷仍然有19套37份，其中陕西、宁夏、海南、黑龙江、吉林5省启用的是全国新课标试卷.本文围绕“平面向量”这个专题，以《全日制普通高级中学数学教学大纲》(以下简称《大纲》)和《普通高中新课程标准》(以下简称《标准》)的分析和比较为出发点，对2010年各地涉及到该内容的高考试题进行归纳和分析，以此寻找命题规律，并在此基础上提出2011年的数学复习建议.

1 新课程与大纲课程的对比分析

通过对《大纲》和《标准》仔细研读、比较，发现《标准》在《大纲》的基础上有以下变化：

1.1 降低了对一些内容的要求

由“掌握向量的几何表示”变为“理解向量的几何表示”;由“理解2个向量共线的充要条件”变为“理解2个向量共线的含义”;由“会进行线性运算”变为了“了解线性运算性质”;由“明确平面向量的数量积定义、表达式”变为“理解平面向量的数量积含义及物理意义”;由“明确向量b在向量a的方向上的投影”变为“体会平面向量的数量积与向量投影的关系”;由“明确2个向量的夹角的意义”变为“能运用数量积表示2个向量的夹角”;由“能用2种形式表示向量垂直的充要条件”变为“会用数量积判断2个平面向量的垂直关系”.

1.2 增加(或删除)了一些内容

《标准》在《大纲》的基础上增加了“平面向量正交分解”概念并要求掌握，在向量的应用中删除了线段的定比分点和中点坐标公式、平移公式等内容.

1.3 在认知方式上有了一些变化

在学习向量的实际背景与向量加、减法的运算及其几何意义，向量数乘的运算及其几何意义等内容时，《标准》都是要求通过力和力的分析等实例进行学习.《标准》要求通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.让学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.显然，《标准》更符合学生的认知规律.

2 命题特点和知识类型

平面向量是高考的必考内容之一，2010年全国19套37份试卷对平面向量都有着不同程度的考查，以选择题、填空题的形式为主，在内容考查上注重双基，回归课本，对理科的要求略高于对文科的要求.与2009年高考相比，总体上稳定，但2010年高考更加注重对向量工具性的考查.

2.1 向量的基本概念

例1 若向量 a=(x，3)(x∈R)，则“x=4”是“|a|=5”的 ( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2010年全国数学高考理科试题Ⅱ)

分析本题主要考查平面向量的模长公式.由x=4，得 a=(4，3)，因此|a|=5.反之，若|a|=5，则可得x= ±4，于是“|a|=5”是“|a|=5”的充分而不必要条件.故选A.

2.2 向量的线性运算

例2 若向量 a=(1，1)，b=(2，5)，c=(3，x)，满足(8a-b)·c=30，则 x= ( )

A.6 B.5 C.4 D.3

(2010年广东省数学高考文科试题)

分析本题主要考查平面向量的线性运算公式.由

解得x=4.故选C.

2.3 向量及运算的几何意义

(2010年辽宁省数学高考文科试题)

图1

图2

2.4 向量与其他知识点综合

(2010年全国数学高考理科试题Ⅰ)

分析向量与其他知识点综合的问题一直是高考考查的一个热点，本题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.

解如图2，设 PA=PB=x(x＞0)，∠APO=α，则

3 亮点扫描

3.1 重视对双基知识的考查

纵观各省、市平面向量的高考试题，一方面有的试题在不断地追求创新;而另一方面则保持着平稳过渡，出现了对基础知识、基本运算能力直接考查的大量试题.

(2010年天津市数学高考理科试题)

分析本题主要考查平面向量的基本运算.

故选D.

2010年全国各地高考考查平面向量基本运算的试题还有：安徽省数学高考理科试题第3题、湖北省数学高考理科试题第4题、湖南省数学高考文科试题第6题、江西省数学高考理科试题第13题，四川省数学高考文科试题第6题，重庆市数学高考文科试题第2题等.

3.2 注重向量与平面几何的联系

图3

A.2 B.3 C.4 D.5

(2010年湖北省数学高考理科试题)

分析向量、向量的加减等线性运算、向量的数量积等对应着其几何意义，而许多平面几何图形的几何特征可转化为向量及其运算.由

得点M是△ABC的重心，连结AM并延长交BC于点 D，则

因为AD为中线，所以

联立式(1)，式(2)，可得 m=3.故选 B.

2010年全国各地高考考查向量与平面几何的联系的试题还有：全国数学高考试题Ⅰ第11题，安徽省数学高考文科试题第16题、辽宁省数学高考文科试题第8题等.

3.3 重视向量与其他知识的综合

例7 设平面向量am=(m，1)，bn=(2，n)，其中 m，n∈{1，2，3，4}.

(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果;

(2)记“使得 am⊥(am-bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率.

(2010年福建省数学高考文科试题)

分析本题以平面向量为载体考查概率的知识，是2010年高考试卷中的一个亮点，主要考查化归与转化思想、应用意识.

(1)有序数组(m，n)的所有可能结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16 个.

(2)由 am⊥(am-bn)，得

而 m，n∈{1，2，3，4}，因此事件 A 包含的基本事件为(2，1)，(3，4)共2 个，于是

向量与其他知识的综合还体现在：(1)与函数的综合的有：北京市数学高考文科试题第4题、北京市数学高考理科试题第6题、全国数学高考理科试题Ⅰ第11题等.(2)与三角函数的综合的有：四川省数学高考理科试题第19题、天津市数学高考理科试题第15题、全国数学高考理科试题Ⅰ第11题、安徽省数学高考文科试题第16题.(3)与解析几何的综合的有：全国数学高考理科试题Ⅰ第11题、全国数学高考理科试题Ⅰ第22题、福建省数学高考理科试题第7题、2福建省数学高考文科试题第11题、湖北省数学高考文科试题第20题、浙江省数学高考理科试题第21题等.

3.4 重视必修与选修内容的有机结合

(2010年福建省数学高考理科试题)

分析本题从双曲线出发，考查了参数方程、向量、不等式等知识，体现了数学必修与选修内容的有机结合，是2010年高考试卷中一道靓丽的风景.

故选B.

4 复习建议

4.1 总结规律

综观2010年全国各地高考试卷，对平面向量的考查主要体现为3个层次：

第一层次：以选择题、填空题的形式出现，主要考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标表示、数量积等基本概念和运算的掌握情况.这一层次的试题，一般属较简单题.

第二层次：以选择题、填空题或解答题的形式出现，主要考查学生对平面向量知识的简单运用，譬如复数的向量表示、平面几何问题的向量解决等.这一层次的问题也多属简单题，即使在解答题中也仅起点缀作用.

第三层次：以解答题的形式，把平面向量与三角、解析几何、导数等章节交汇融合形成综合题，考查学生把向量作为工具的运用能力.这一层次的问题有一定的难度，而且是近几年高考平面向量命题的一种趋向.

4.2 要回归教材

教材是高考试题的重要知识载体，是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”.在复习过程中，以课本为“蓝本”对题目举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求做到“以不变应万变”.

4.3 要渗透数学思想

由于平面向量本身具有代数和几何双重身份，因此向量知识处处体现了数形结合的思想方法.在解决问题过程中，要帮助学生形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识，还要注重分类讨论与化归思想的渗透.

4.4 要重视知识间的联系

“重视综合能力的考查、在知识网络的交汇处设计试题”是近几年高考命题的重大改革趋势，而向量本身具有的特点决定了它必然成为“在知识网络的交汇处设计试题”的良好载体，《课程标准》也特别强调“教学中要注意向量与三角函数、向量与几何、向量与代数的联系”.在复习平面向量时，要有意识地加强平面向量与其他知识之间的联系，渗透向量的应用意识，从而发挥向量的工具作用.