2010年浙江省数学高考理科试题第20题之思考

●郑明杰 (余杭第二高级中学 浙江杭州 311100)

2010年浙江省数学高考理科立体几何试题的设计可谓是匠心独具，无论在取材背景还是命题立意上都令人耳目一新，体现了重基础、立意高、思路活、讲公平的命题特征.

1 亮点扫描

1.1 凸显课改理念，体现公平原则

不难看出，2010年浙江省数学高考理科试题第20题从背景设计到方法的选择，有如下设计痕迹：

由此可见，试题的设计方式很好地诠释了新课程所倡导的动手实践、自主探索，体验数学发现和创造的历程理念.同时，考查意图也是围绕课程标准要求的“在教学中，鼓励学生灵活运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题”的教学要求.

图1

此外，折纸实验是学生所熟知的一个数学实验背景，其基本原理是通过翻折与展平(如图1所示)，寻找平面图形与空间图形之间的联系，进而抽象位置关系与数量关系，实现几何问题代数化.命题背景设计体现了公平性原则.

1.2 回归数学本质，解答灵活多样

试题中探索的结论是求二面角的余弦值，因此首先要明确二面角的含义，即什么是二面角，二面角的平面角通常有哪些表现形式?它是如何度量的?只有把握二面角的本质，理解求空间角中向量的工具性，就不难找到解决的基本线索.

1.3 立足能力立意，突出思想内涵

图2

1.4 考查理性思维，挑战意志品质

学生很熟悉平面图形翻折，但是经过2次翻折，确实对学生的空间想象能力提出了挑战.同时，由于翻折的前后2个部分图形不对称，给学生带来了视觉阻碍.根据A'，C重合得到MC=MA'实属不易，这容易使学生在考试中产生焦虑情绪.因此，试题的“执果索因”的思维方式，即在方程思想(求值问题)的引领下寻找翻折问题中的不变性(等量关系)是本题考查的又一亮点.沉着的心态，锐意进取的勇气，理性地剖析问题本质，灵活、熟练地运用知识与思想方法的数学素养等等，是突破难点的基本保障，也是本题在更高层面上的考查，它承载着选拔优秀人才的功能.

2 2点思考

2.1 颠覆传统视界，回归数学理性

2010年高考(理科)命题方式彻底颠覆了传统的立体几何解答题复习方式，突出了能力考查，彰显数学理性思维必将是立体几何试题今后的走向.这无疑是在暗示我们，定势、守旧的立体几何复习模式已经行不通了，转变观念，让课堂回归理性，突出能力发展、着意数学思想渗透的课堂教学才是高考唯一出路，也是切实减轻学生课业负担的正途.

2.2 立足数学双基，发展面状思维

综合法与向量法是解决立体几何问题的基本手段.2010年的试题给人以明显的感觉是对2种工具不再厚此薄彼，表现出综合法的推理与向量工具的计算存在各自优势的特点.这种变化带给我们的启示是，立体几何解答题的教学不能仅仅由向量法一法到底，而是要引导学生在对2种方法的对比中作出合理选择，促进学生由线性思维向面状思维发展.

不少教师感到2010年数学高考理科立体几何解答题要难于往年，但仔细分析后不难发现，问题的切口并不复杂.第(1)小题只要抓住二面角的平面角的概念核心(棱与平面角所在面垂直)，在线面垂直的暗示下，综合法的形成是自然的;若抓住二面角与空间向量的联系，产生前面提及的几种方法也不困难.第(2)小题经过降维处理(展平)，转化为在平面中计算距离问题，则对坐标法的应用亦是水到渠成的事.当然，这些思路的产生要求学生有扎实的基础知识与技能.

3 3点建议

3.1 落实主干知识，培养思辨意识

虽然立体几何中涉及的知识点特别多，但是各知识点之间存在着很强的关联性.在以往快节奏、高密度操练的复习模式下，存在于学生头脑中的立体几何知识常常是零散的、缺乏体系的，很难形成一个网状的知识群.笔者认为，在立体几何复习中，要充分重视知识落实，尤其要加强对核心概念的解构.

只有这样，才能使学生领会知识要诣并融会贯通.也只有这样，才能使学生即遇到陌生背景，也会从概念本质入手进行信息检索(概念的核心往往就是检索数学方法的基本出发点)，形成思维的发散.

3.2 注重思想渗透，崇尚理性精神

立体几何教学承载着培养学生的运算、空间想象和推理判断等逻辑思维能力的功能，思维开展过程中渗透着众多的数学思想方法，譬如数形结合思想、降维思想、坐标法思想等.因此在教学中要强化理性思辨，切不可就题论题，只讲过程而无视思想方法提炼.众所周知，以数学思想引领的解题策略往往能使思维更简洁、明了.

3.3 巧设几何背景，挑战空间想象能力

笔者从考生中了解到，学生之所以感到2010年的立体几何试题特别难，心理暗示起着关键的作用，看到2次翻折心理就发怵.

因此，在立体几何复习中，要适当安排一些创新型几何背景的立体几何问题，有助于培养学生的空间感.例如，安徽省数学高考理科试题第18题，几何背景新颖、条件繁杂，但是在结论(证明线面平行、线面垂直)的暗示下，联系不同维度的线面位置的相互转化关系.通过运算，能有条理地梳理条件，从中不仅锻炼学生的推理判断能力，而且还可提升学生对陌生图形的分析与抽象能力.