2 0 1 0年浙江省数学高考理科试题评析

●卢 明 (元济高级中学 浙江海盐 314300)

1 试卷回顾

2010年浙江省数学高考理科试题从题型、题量和分值结构来看，继续保持前几年一贯的风格，相对稳定.试题严格遵循《浙江省普通高考考试说明》，起点低、角度宽、视点高，在考查基础知识的同时，注重对数学思想、数学方法和数学能力的考查.延续往年分步设问、分散难点的做法，体现了分散压轴、多题把关的命题特点.选择题、填空题、解答题都有把关题.此外，2010年的试题还有以下主要特点：

(1)厚基础，缓坡度.

整卷注重基础知识和基本方法，全面覆盖高中数学的基本内容.试卷中的选择题、填空题主要围绕“双基”设计，侧重考查基础知识和基本技能;解答题重点考查了三角函数、概率与期望、立体几何、解析几何以及函数导数等核心内容.各类题型起点难度较低，呈阶梯式递进.10道选择题中第1～6、7～9和10题，填空题中第11～13、14～16和17题，各分成3个明显的难度层次，解答题中也有类似体现.

(2)老内容，新情景.

重点内容做到常考常新.例如，2009年的第3题只考查了复数运算;2010年的第5题不仅考查了复数运算，更突出了共轭复数、模等概念，以及实数与复数平方运算结果的区别.再如，2009年的第8题主要考查三角函数的图像与性质;2010年的第9题将三角函数的图像与性质同函数与方程思想、数形结合思想有机结合起来，以新的情景形式展现在考生的面前.类似的题目还有第 10，14，17，19，20，21，22题等.这些试题对平时教学不重视基本概念和学科思想、单靠反复操练的考生来说，会到处碰壁.这样的命题对今后的教学起到了积极的导向作用.

(3)重通法，淡技巧.

大多数题目叙述简洁，体现常规，突出考查通性通法，淡化技巧.例如，第 3，8，11，12，13，15，16，18，21题.尽管有的题用通性通法求解不一定是最佳方法，但至少熟练掌握了通性通法后能够使问题迎刃而解，较好地体现了以知识为载体、以方法为依托、以能力为导向的命题指向.

(4)多角度，留空间.

许多试题给考生预留了多角度思维的空间，即入口宽.解题途径比较多，可以有效区分考生不同的思维水平.例如，第3，7，15，16题等，其中第16题至少有4种解法.

2 考题选评

2010年浙江省数学高考理科试题充分体现了新课程的理念，在稳定中寻求变化，在变化中追求创新.

2.1 注重阅读，凸显能力

试卷中展现了很多新题，如第 10，14，17，19，21，22题等，这些试题数学化程度高，对学生的数学阅读与理解能力提出了较高的要求，使考查具有一定的难度和深度，有利于检测考生的能力.

(2010年浙江省数学高考试题)

点评本题主要考查的知识点是集合概念、对数函数图像、函数图像的平移变换、组合等;考查的思想方法是列举法.本题所给的背景比较新，有的考生由于没有读懂集合和集合的元素分别是什么?每个集合各有几个元素?只得将题目放弃.有的考生虽然读懂了2个集合的意思，但未能根据“函数图像恰好经过Q中两点”的要求将函数列举完整.

类似的题目还有第14，19题，分别要求考生从题干描述的情景或题目所给出的图形中去读取相关信息.

2.2 返璞归真，重立地位

近几年的数学高考理科立体几何题的图形都是给定的，考生不需要画图，且过分推崇向量法，这给立体几何教学带来的影响是强化向量应用，削弱了基本定理教学.2010年的高考理科立体几何题一改往常面孔，返璞归真，考查了一个翻折问题，要求考生独立画出翻折后的立体图，还立体几何考查以本真.

(1)求二面角A'-FD-C的余弦值;

(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A'重合，求线段FM的长.

图1

(2010年浙江省数学高考试题)

点评第(1)小题用几何法比向量法要简捷得多，关键是考生读图时需要将二面角A'-FD-C转换成A'-AF-C，这样就容易作图了.第(2)小题的难点在于要求学生独立画出翻折后的立体图，这对学生的空间想象能力提出了较高要求.在解法上，几何法与向量法难度相当.这是一种很好的命题导向，既突出了几何思维的地位，也照顾到了向量思想的应用.它提醒教师应当重视立体几何本质的教学，向量只不过是一种“工具”，不能替代欧氏几何的学科思想和思维方式，以保证立体几何作为一门独立课程而存在的意义和价值.

2.3 “熟”中有“生”，“生”中创新

试卷中有一些试题是以考生非常熟悉的面孔出现的，给考生以亲近感.然而，深入下去却是暗流涌动.例如，第15，22题等.

例3 已知a是给定的实常数.设函数f(x)=(x-a)2(x-b)ex，b∈R，x=a 是 f(x)的一个极大值点.

(1)求b的取值范围.

(2)设 x1，x2，x3是 f(x)的 3 个极值点，问是否存在实数 b，可找到 x4∈R，使得 x1，x2，x3，x4的某种排列 xi1，xi2，xi3，xi4(其中{i1，i2，i3，i4}={1，2，3，4})依次成等差数列?若存在，求出所有的b及相应的x4;若不存在，请说明理由.

点评本题条件中所给函数的形式、极值点等概念，都是考生非常熟悉的，求解的思路也很熟悉.但是，要真正深入进去，能够巧妙地运用函数与方程思想、一元二次方程根的判别式、等差数列的概念等知识，科学地进行分类讨论，文章就大了.可谓进门容易，深入难，达到了有效考查学生综合素质的目的.

3 几点思考

数学考试一结束，考生普遍反映试卷难.那么，究竟为什么难?难在何处呢?

3.1 试卷本身的原因

3.1.1 试题表述的数学化程度过高

本试卷中原创题目比较多，试题表述新颖、数学化程度高，对考生的数学阅读和理解能力要求高，例如第10，14，17，19，22 题等.

为此，作为高考选拔的大众数学，命题的表述究竟应该是基于方便考生理解还是基于表述的数学化程度?高考试卷中对数学阅读能力的考查应该占多大的比重方算合适?这值得大家探讨.

3.1.2 “难题”提前集中出现

这里所述的难题分为2类：一类是“生”题，即平时很少见的题，命题教师起初并不认为这些是难题，但对考生来说的确是难题，譬如第9，14，15，16题;另一类是“深”题，这些题综合性强，能力要求高，命题教师将它作为“把关”题，如第10，17题.高考数学卷对于中等以上的考生来说，心理承受的底线是选择题、填空题中至多有2～3道难题，而本卷命题设置突破了这条“底线”.

3.2 教学中存在的问题

为什么命题教师认为不难的试题考生却会觉得很难?怎么会出现这种认识上的心理错位呢?

3.2.1 重知识，轻思想

当下，中学数学教学中死教书、死做题，重知识、轻思想现象还是相当普遍的，如此教出来的学生自然是只会做陈题，缺乏创新意识和创新能力.

3.2.2 几何课程“代数化”

解析几何是一门用代数方法来研究几何问题的学科，但是，立体几何并非如此，向量法并不是研究立体几何的主导方法.现行的新课程立体几何教材引进了空间向量，可以用向量运算替代比较复杂的几何证明.加之，高考指挥棒的影响，进一步强化了某些教师的糊涂观念：有了向量法，不必再让学生去记忆那些复杂的几何定理.立体几何课程呈现出“代数化”倾向，学生的几何思维没有形成，欧氏几何的解题三步曲——“作、证、算”被严重淡化，空间想象能力得不到很好的培养.如何改变这一种倾向，充分发挥立体几何课程对人的发展的不可替代作用，作为影响教学的高考指挥棒，应该在命题方面进一步深化研究.

3.2.3 不科学的应试策略指导

“重点做好选择题、填空题和解答题的前3题，最后2题能得多少算多少”.许多数学教师就是这样指导学生应试的.可是，2010年的数学试卷如果按照上述应试策略，必然会导致考生心理失衡，自信心受到严重打击，从而影响考生实际水平的正常发挥.

总之，数学是高考的晴雨表，数学考试的成败直接影响考生的心态.因此，一份好的高考数学试卷，无论是对考生水平的正常发挥，还是对高校人才的选拔，乃至对中学数学教学导向都至关重要.出一份好的高考数学卷很不容易，这不仅是考生的一种期盼，也是我们中学数学教师的一种期盼.