脉冲时滞细胞神经网络周期解的存在性和指数稳定性

李中华，王 慧

(1.乐山师范学院计算机科学学院，四川乐山614004;2.乐山师范学院数学与信息科学学院，四川乐山614004)

1 引言

细胞神经网络(CNNs)和时滞细胞神经网络(DCNNs)的动力学行为由于其在信号和图像处理及其它领域的广泛运用具有重要研究价值，得到了几个重要结论［1－7］。最近，人们发现在诸如人脑的网络经常处于周期扰动甚至混沌状态中，因而周期扰动解的特征吸引了大量的研究兴趣。关于周期解的存在性和指数收敛性已经有结果报道［8－14］，同时，脉冲影响大量存在于各种进化过程，脉冲和时滞都会影响系统的动力学行为。因此，有必要考虑当神经网络系统同时具有脉冲和时滞影响时周期解的存在性与稳定性问题。

考察对象为如下脉冲时滞细胞神经网络:

式中:n为神经元个数;xi(t)为第i个神经元在t时刻的状态;fj为神经元激活函数;ai＞0代表神经元充电时间常数;τij(t)代表轴信号传输时滞;αij(t)为第i个神经元和第j个神经元的连接权重;βij(t)为时滞连接权重［αij(t)和βij(t)是ω周期函数］;Δxi(tk)是在时间tk的脉冲;t1＜t2＜…为严格递增序列，且满足limk→∞tk=+∞ 。系统初始条件为:

假设:(H1)fj(x)，j=1，2，…，n全局 Lipschitz连续，Lipschitz常数为 Lj，即，(H2)存在正整数m使得tk+m=tk+ω，Ii(k+m)=Iik;(H3)-2≤ Iik≤0。

定义1 称系统(1)的周期解x(t，φ*)是全局指数稳定的，如果存在正常数α和β使得系统(1)的每个解x(t，φ)满足:

下一节将用到连续函数f(t)的右上Dini导数，其定义为:

由右上Dini导数定义，可直接得到如下引理:

引理1 若f(t)为定义在R上的在时刻t0可微的连续函数，则:

2 主要结论

引理2 设 x(t，φ)和 x(t，φ)是系统(1)的2 个解，若条件(H1)－(H3)成立，且如下条件满足:

(H4)存在正数 λi，i=1，2，…，n 使得

i，j=1，2，…，n

则存在正常数 λi，i=1，2，…，n，使得:

其中:M(ε)≥1。

证明:令

1)当 t≠tk时，有:

注意到对所有的 i=1，2，…，n

因此，

在此定义

带入并简化，得:

由条件(H4)和P(ε)的连续性知，存在一正数(不妨还是记为ε)使得P(ε)＜0。

从而D+V(t)＜0。

2)当t=tk

故，有V(tk+0)＜V(tk)

且:

另一方面，

即

定理1：若 (H1)－(H4)成立，则系统(1)具有全局指数稳定的ω-周期解。

证明:第1步，ω-周期解的存在性

定义映射P:C→C，Pφ =xω(φ)

由引理2，得到:

上式说明Pm是Banach空间C上的一个压缩控制映射，根据控制映射原理Pm有且仅有一个不动点φ*。注意到 Pm(Pφ*)=P［Pm(φ*)］=Pφ*，这说明Pφ*∈C也是Pm的不动点，由Pm的不动点的唯一性知Pφ*= φ*，即xω(φ*)= φ*。令x(t，φ*)是系统(1)的初始值为 φ*的解，则 xt+ω(φ*)=xt［xω(φ*)］=xt(φ*)，t≥0。这表明x(t+ω，φ*)=x(t+ ω，φ*)(0)=xt［xω(φ*)］(0)=xt(φ*)(0)=x(t，φ*)，t≥0。

因此，x(t，φ*)是ω-周期的。

第2步，周期解的指数稳定性

由引理2，系统(1)的任意解x(t，φ)满足:

x(t，φ)-x(t，φ)∞≤ M(ω)φ - φ∞e-εt，t≥0。

这就说明了x(t，φ)指数趋向于x(t，φ*)。

由定理1直接可得

推论1：若(H1)－(H3)成立，且如下条件满足:则系统(1)存在一全局指数稳定的ω-周期解。

当时滞τij(t)=0，αij(t)≡αij，得到如下推论:

推论2：假设(H1)－(H4)成立，并且如下条件满足

存在正常数 λi，i=1，2，…，n 使得

有一全局指数稳定的ω-周期解。

显然，推论2的条件(H6)比文献［15］的条件(H5)更少保守性。

3 数值实例

用数值实例来说明结论的有效性。考虑如下两个神经元系统

【例 1】

显然，条件(H1)－(H3)满足，选取 λ1=λ2=1，则条件(H4)成立，从而存在指数稳定的2π－周期解 (图1)。

图1 系统(2)的时间响应曲线和2π－周期解相谱Fig.1 Time response curves and Phase portrait of 2π-eriodic solutions of system(2)

【例2】

图2 tk=0.2kπ时，系统(3)的时间响应曲线和2π－周期解相谱Fig.2 Time response curves and Phase portrait of 2π-periodic solutions of system(3)

4 结语

为脉冲时滞神经网络周期解的存在性和全局指数稳定性提供了充分条件。并将文献［15］中的结论一般化，它具有更少的保守性。然而，本结论也需要进一步改善，比如脉冲律被限制在一个小范围内，这是下一步研究目标。

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