在《离散数学》的教学实践中融入数学建模思想

温雪莲 华南师范大学经济与管理学院 510006

在《离散数学》的教学实践中融入数学建模思想

温雪莲 华南师范大学经济与管理学院 510006

离散数学是计算机科学与技术以及相关专业的核心基础课程。数学建模对于培养学生应用数学的能力具有重要的作用。本文从在离散数学教学中融入数学建模思想的意义、方法与实践以及对可能遇到的问题的讨论几个方面探讨离散数学的教学与数学建模思想关系。

Discrete Mathematics; Computer Science and Technology;Mathematical Modeling

离散数学是研究离散数量关系和离散结构数学模型的数学分支的统称。是计算机科学与技术专业的核心基础课程。课程涉及的概念、方法和理论在数字电路、数据库系统、软件工程、人工智能、多媒体技术、计算机网络等专业课程都有大量的应用。离散数学课程所传授的思想，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域。学习离散数学不仅是为了锻炼思维能力，更重要的是将所学的知识用于解决实际问题。而数学建模就是将数学知识应用于解决实际问题的过程。若在离散数学的教学中融入数学建模思想，将抽象的数学知识与实际应用相结合，将有助于培养学生应用数学的意识和能力，同时也有助于提高学生学习离散数学的兴趣。当前，已有许多对数学建模与教学的关系的探讨[1-3]。本文将从在离散数学教学中融入数学建模思想的意义、方法与实践以及可能遇到的问题等几个方面讨论如何在离散数学教学中融入数学建模思想。

1、融入数学建模思想的意义

数学模型就是用数学语言，通过抽象、简化，建立起来的描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构。这个结构可以是公式、方程、表格、图形等。例如：在网络的当前的负载状况下，网络两个结点之间的一条耗时最短的通信线路问题可以抽象为赋权图中两点之间边权值和最小的通路的数学模型；在一定的人力、物力等资源条件下，使得经济效益最大或资源消耗最小的资源分配问题就可以抽象为线性规划模型，问题的求解等价于求对应数学模型的最优解。由此可见，数学建模的目的是将复杂的客观事物或联系简单化并用数学手段对其进行分析和处理。马克思曾经说过“一种科学只有成功地运用数学时，才算达到真正完善的地步”。数学建模正是人们认识世界和改造世界的重要数学工具。

建立数学模型解决现实问题要经过模型准备、模型假设、模型构成、模型求解和模型分析这五个步骤。模型准备就是了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征；模型假设是根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设；模型构成是根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构；模型求解就是采用各种已有的数学方法或计算机技术进行求解；模型分析就是将求解结果进行误差或稳定性等数学分析，并解释为对现实问题的解答。由此可见，思想数学建模就是将数学的理论知识应用于解决实际问题，培养数学建模思想就是锻炼应用数学的能力。

国内外数学教学改革的趋势, 越来越注重数学的应用性。不注重应用性的数学教学，只能使学生知道一些概念，认识了许多公式，了解了各种方法，可是遇到实际问题时却无从下手。这样得到的知识是“死”的，能被应用的知识才是“活”的。在离散数学的教学中融入数学建模思想，就是让学生将概念、定理和方法变成能用于解决实际问题的“活知识”。这不仅符合数学本身发展的需要,也是社会发展的需要。

在离散数学的教学中融入数学建模的思想，可以调动学生学习离散数学的积极性。离散数学课程主要包括数理逻辑、集合论、代数结构和图论四个部分。具有内容零散，概念多，理论性强和高度抽象等特点。如果仅对概念和定理进行理论讲解，不但听起来觉得比较枯燥，而且学生在学习过程无法体会到它在计算机科学中的应用，容易失去学习的热情和产生畏难心理。用数学建模的思想指导离散数学的教学，将生活实践引入课堂，用课本知识分析实际问题，让学生感到离散数学贴近生活。教师可以引导学生自己寻找与该数学模型相吻合的实际问题活用离散数学建立实际问题的数学模型，并进行报告和讨论，使得学生有自己独到的见解和看法，有助于知识的融会贯通和掌握，大大提高学生对学习离散数学的兴趣。

在离散数学的教学中融入数学建模思想，还有助于培养学生的观察、分析、综合、类比能力和抽象思维。运用数学建模解决实际问题必须首先观察分析实际问题，抽象出问题包含的量及量之间的关系，并用数学语言表示出来，然后再把数学模型纳入某知识系统进行处理。完成这个过程需要学生具有一定的观察、分析、抽象、综合和类比能力，并把数学知识融入到解决问题中。这种能力并非一朝一夕就可以获得，只有将数学建模思想贯穿于教学中，不断引导学生用数学的思维去观察、分析、抽象，从纷繁复杂的具体问题抽象出数学模型，才能使数学建模思想成为学生思考问题的习惯。

2、离散数学融入数学建模思想的方法与实践

要将数学建模思想融入到离散数学的教学中，需要从教学内容和教学方法入手。

2.1 挖掘应用，激发学习热情

传统的离散数学教材只包含极少的应用实例，有些部分甚至只是简单地提及在哪些领域有应用。比如代数结构部分，大部分教材都只包含了大量的概念和题解，看似数学专业教材的一部分，学生学起来比较枯燥。而在教学中融入数学建模思想的关键就是在教学中联系实际，因此，教师需要深入钻研教学内容，广泛搜集资料，挖掘离散数学的应用素材，加以推广，结合计算机专业选编合适的实际问题，创建实际问题情境。尽量选择与学生身边或专业性的问题，使学生体会到所学知识的实用价值，从而激发学生的学习热情。

例如，布尔代数[4]是离散数学中比较抽象的概念，如果只作理论上的阐释往往会让学生觉得晦涩难懂，为了吸引学生的注意力和兴趣，教师可以先引入如下的应用实例：在举重比赛中，通常设三位裁判，一位主裁判，两位副裁判；竞赛规则规定运动员每次试举必须获得主裁判及至少一位副裁判的认可，方算成功。裁判的意见只有通过和不通过两种；运动员的试举也只有成功和失败两种，如何设计满足这些要求的举重裁判的设计电路呢？通过引入这些有趣的实例来讲解布尔代数的理论，能激发学生用所学数学知识的思考、分析和求解，这就是数学建模对学生的锻炼过程，这个过程使学生的应用数学的能力得到提升，同时让学生体会到数学建模的价值，增强学习离散数学的动机和兴趣。类似的例子在离散数学中有很多，需要教师留心身边的实例和查阅相关的资料，不能仅仅依靠一两本教材。

2.2 在概念、定理的讲授及课后习题中引入数学建模思想

不但要挖掘实际应用实例融入理论教学中，在课程讲授方式上也要融入数学建模的思想。

离散数学课程中包含很多概念，如果着重于概念的阐释，学生无法深刻理解，而且忘得快。如果在讲解概念的时候渗透数学建模的思想就可以解决这个问题。数学概念都是从客观事物的某种数量关系或空间形式中抽象出来的数学模型，本身就体现了数学建模的思想。因此在讲解概念时可以借助于概念产生的背景，以及概念是如何由实际问题通过分析、抽象、概括而得到的过程，让学生切实体会到由实际问题到数学概念的方法，不但能加深学生对概念的理解，而且能逐步培养学生数学建模的意识。例如：集合是对若干无联系的具体或抽象的对象的整体的抽象。图论中研究的图是对若干两两之间存在或不存在某种关系的对象以及它们之间的关系的抽象，这个抽象起源于哥尼斯堡七桥问题等等。

数学公式定理也是离散数学的重要组成部分。在讲解公式时，教师可以设置能反映公式结论的实际用例，通过向同学们提出疑问的方式，由学生们自己推导出公式。例如，在讲解二部图具有覆盖一个部的匹配的Hall定理[5]时，教师可以先举这样的一个实例让学生进行思考，如果有n个工人和m项任务，其中n≥m，每个工人能胜任其中的若干项任务，当工人和项目之间满足什么条件时，所有项目都能找到胜任该任务的工人来完成？学生们要思考这个问题，首先就要将每项任务和每个工人分别用图中不同的点来表示，如果一个工人胜任一项任务，就在代表该工人和任务的点之间连一条边，这样抽象出来的二部图就是该问题的一个数学结构，原问题实际上就转化为在这个二部图中两个分类中的顶点之间存在什么关系，才能使得该图有完美匹配。这样，在介绍公式的同时培养了学生数学建模的思想，也加深学生对公式的理解与掌握。

此外，在习题课和作业的安排中也可以融入数学建模思想。利用课本的纯数学问题，结合生活的实际问题进行改编成综合应用题，让学生以数学建模论文的形式提交，作为平时成绩的一部分，此外，鼓励学生自愿组成学习小组，培养他们的协作精神。这样，学生们就可以通过做来认识和体验数学，掌握数学建模的思想方法。

2.3 突破传统的教学模式，采用开放式教学

在传统的课堂教学模式下，即使从事数学建模的活动，也仅是教师提供素材，学生被动地参与学习与讨论，学生真正碰到实际问题,往往仍感到无从下手。因此要培养学生建模能力，需要突破传统教学模式。

在教学形式上，可采用分组活动，通过社会实践或社会调查形式来实行。例如，在某地有一个6岔路口，路口上设置多台红绿灯，如果设置红绿灯的时间和行车才能使得车流量最大。这是个切实存在的实际问题，学生通过调查不同时间的车流量并结合离散数学中图论的知识来制定一个有效的解决办法，由此来锻炼学生解决实际问题的能力。

教学内容也要开放。利用离散数学方法能解决的实际问题比比皆是，而教师提供的素材与问题都是十分有限的。为调动学生的主动性与创造性,应让学生自己选择熟悉的感兴趣的实践活动，让他们自己提出问题、设计方案、分析解决。

此外，还要注意离散数学与其它相关学科的联系。离散数学在化学、生物、工程管理等学科都有紧密的联系。例如，图论中的染色问题就是解决化学品存放问题的数学模型，图论中在教学中注意离散数学与其它学科的呼应，不但可以帮助学生加深对其它学科的理解，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。

3、问题讨论

要将数学建模思想有效地融入到离散数学的教学中，在教学实践中仍需要解决许多问题。

首先是教学时间的分配问题。工科院校对离散数学课安排的课时普遍较少。这对离散数学这门具有丰富的理论和实际应用内容的课程来说远远不够。但在无法更改教学课时的情况下，需要教师合理地分配教学时间，同时充分地调动同学们课余学习的积极性。对于部分课程内容，可以通过布置一些有趣的实际应用题目，让学生通过预习相关内容来解决，在课堂上只需再对重点难点进行详细讲解，节约了理论讲解的时间，同时也调动了同学们学习的主动性。

其次是任课教师自身素质的提高问题。传统的离散数学教学模式是将离散数学作为一个数学理论课。主要是对其中的定义、理论和方法进行阐释。对应用只作简单的介绍，课程内容的变化不大，因此教师备课往往是一劳永逸。而将数学建模的思想融入到离散数学的教学中，教师不仅需要掌握该课程的理论知识，还必须尽可能地了解与之相关的专业课程的内容，挖掘与离散数学相关的实际应用，因此需要教师不断地更新教学内容，调整教学模式，这对离散数学教师提出了一个更高的要求。

4、结语

离散数学是计算机专业的基础核心课程，同时在计算机专业课程中起着承前启后的重要作用。在离散数学的教学中融入数学建模的思想，就是通过融入应用实例和调整教学方式，将与离散数学相关的实际应用和理论教学内容有机地结合在一起。这种教学思想，一方面，能使学生明确学习离散数学的理论知识可以有效地解决实际问题，从而提高学习离散数学的积极性和主动性，同时也启发了学生的应用意识和能力。另一方面，改变了传统的以阐释理论为核心的教学模式。要求教师不断挖掘、探索新的应用实例，了解与离散数学相关的学科，提高了教师的教学水平和自身的素质。从而形成教与学互相促进、不断进步的良性循环。

[1] 赵凌. 从数学建模活动谈高校数学教学改革[J]. 成都大学学报(自然科学版).2001,(04): 61-63

[2] 简国明. 地方高校数学建模教学模式的探索与实践[J]. 大学数学.2005,(02) :35-38

[3] 库在强，刘焕彬. 以数学建模活动为载体 促进数学课程教学改革[J].黄冈师范学院学报. 2008,(03): 68-72

[4] 杨炳儒. 离散数学[M]. 北京：人民邮电出版社.2006.

[5] 屈婉玲，耿素云，张立昂. 离散数学[M]. 北京：高等教育出版社.2008.

The Infiltration Of The Concept Of Mathematical Modeling Into The Teaching of Discrete Mathematics

Wen Xuelian
School of Economics and Management, South China Normal University, Guangzhou 510006

Discrete mathematics is an important course of computer science and its correlative specialties. The procedure of Mathematical modeling is very important in helping the students to cultivate the ability of using mathematics in practice. This paper deals with the relation between the concept of mathematical modeling and the teaching of discrete mathematics from the significance, the method, the practice and the problems that may be met in the infiltration of the concept of mathematical modeling into the teaching of discrete mathematics.

离散数学;计算机科学与技术;数学建模