基于曲线拟合的泰勒级数电网故障后电压快速准确计算＊

钟 浩，吴政球，刘 青，李广超

（1.湖南大学 电气与信息工程学院，湖南 长沙 410082；2.西安科技大学 电控学院，陕西 西安 710054；3.河南省新乡市电力局，河南 新乡 453002）

随着电网规模的不断扩大，以及电力市场改革的不断深入，电力系统的安全稳定显得尤为重要[1].研究快速有效的故障后电网运行状态评估方法对电网的安全稳定运行非常必要.

支路故障[2]可能导致线路过负荷和／或系统电压远离安全区域[3].为了使故障后电网运行在容许的范围之内，这就要求电力系统运行人员能够快速准确估计支路故障后的系统状态并及时采取相应措施.然而故障后电网运行状态估计方法的精度和速度往往是相互冲突的.

直流潮流法[4－5]因其对故障后有功计算简单、精度较高而被广泛应用于工程实践.但是这种方法不能对电压安全性进行分析.文献[6－8]采用了基于补偿方法快速解耦一次迭代方法，但要修正故障后的雅可比矩阵重新形成因子表，计算时间较长.文献[9－10]采用分布因子法来进行电网安全分析，有功分布因子由于计算简单、精度较高而被广泛地用于工程实践，但无功分布因子的精度一直是一个问题.文献[11]考虑了有功与无功的耦合关系，但对线路故障而言，其电压误差仍然达到1.8%，无功潮流误差很大，不能满足工程计算的要求.利用优化方法，文献[12－13]将电压无功安全分析问题转化为一个考虑故障线路附近网络无功约束的优化问题，受优化方法的收敛性能影响，求解速度不是很快.

本文提出一种兼顾速度与精度的计算预想故障后电压的方法.此方法将开断参数（即支路导纳系数[14]）看成连续变化的参数，只需要在基态网络分解的基础上进行前代与回代即可求得节点电压对开断参数各阶导数，利用各阶导数对节点电压泰勒展开，可计算得到电压函数关系曲线上线路开断参数在很小变化范围内的几个点，如图1所示（如1，2，3，4点），然后通过理论分析，提出节点电压与线路开断参数的近似函数关系，最后用上述所求的点对电压函数进行拟合，最终得出节点的开断电压.

1 N－1网络下节点电压快速计算模型及其算法的实现

用拟合技术快速准确求解支路故障后的电压包括两阶段，电压对支路开断参数的各阶导数求解和基于泰勒级数的曲线拟合.

1.1 电压对支路开断参数的各阶导数

在没有线路开断的基态网络潮流计算收敛时，牛顿法潮流修正方程为：

图1 节点电压与支路导纳系数的关系Fig.1 The relationship between the voltage and admittance

假设i节点到j节点间线路退出运行，令i节点到j节点间线路开断状态用线路开断参数αij表示.αij＝1，表示ij－ 线路正常运行；αij＝0，ij－ 停运.将收敛后（1）式两边对线路开断参数求导得（2）式：

式（3）即是电压对开断参数的多阶导数求解通式.在第k阶导数求解式中，等式左边k＝1，2，3…，为待求的电压对开断参数第k阶导数，式右边为已求得的电压对开断参数的导数，n＝1，2，3…k－1，为雅可比矩阵[J]对αij的各阶导数k＝1，2，3…，即是对αij的各阶导数[15]，Chn是二项式系数.求解式为：

JαijVn－1是[J]先对αij偏导得JαijV0，再将JαijV0经电压对αij求n－1阶导，[JVn]是[J]直接经电压对开断参数求导[15].

由上所述即可求得电压对线路开断参数的各阶导数，从而可得到节点电压的泰勒展开式为：

其中α0为泰勒展开原点，一般情况下节点电压在线路处于联通状态即α0＝1处展开.

1.2 基于泰勒法的拟合法

系统故障前，线路处于联通状态，其线路开断参数α0＝1，对应节点电压e（1）和f（1）.当故障线路三相断路时，其线路开断参数α0＝0，对应节点电压为e（0）和f（0）.当线路开断参数连续变化时，节点电压的实部与虚部皆可看做线路开断参数的函数，分别为e（α）和f（α），可由下式表示：

其中A0，A1，A2，A3为常系数；α为线路开断参数.

应该指出的是：采用式（5）亦可计算线路断开时的各节点电压.但从图1可看出，由于α－V曲线的非线性，且开断参数α变化较大（由1变到0），使得节点电压变化较大.实际计算也表明直接用式（5）精确计算线路断开后各节点电压时，泰勒展开的阶数较高，需6～7阶[15]，计算时间较长.

从上面的分析，我们可以想到使α在式（5）的展开原点α0＝1附近变动，是否只需很少的几阶泰勒展开就可以得到几个点的精确e（α）和f（α）值，然后对式（6）进行拟合.从图1也可以看出，当线路开断参数α在很小的变化范围内（α＝1附近）变动时，节点电压变化较小，节点电压与线路开断参数关系曲线较平缓.实际计算也表明：在该范围内用式（5）直接计算e（α）和f（α）值只需三阶泰勒展开即可得到很精确的解.所以为使精确度高且计算时间少，本文用很小变化范围内（α＝1附近）的几个点来拟合节点电压函数，从而得到断线后的节点电压.由式（6）知，电压函数有四个未知数，所以本文采用在支路开断参数变化很小区域内选择四个点得到四个线性方程，从而可确定四参数A0，A1，A2，A3的值，得到节点电压与线路开断参数的函数关系.

当α＝1.0时此时：

另外三个线性方程为：

式（7）中的e（1.0）即为基态情况下节点电压实部，其值可由基态潮流计算得出.而对于式（8），（9）和（10）中的e（0.95），e（0.90），e（0.85）可按式（5）将其在α0＝1处展开，并精确到3阶.

联立（7），（8），（9），（10）可解得参数A0，A1，A2，A3，又由α＝0时可求得支路故障后电压.

同理节点电压虚部亦可作如上推导.只需在上述公式中将e（α）换成f（α）即可.在求得e（α）和f（α）后，即可得到节点电压的幅值与相角.

2 算例

以IEEE30和IEEE118节点系统为算例进行分析.用牛顿法和本文所提方法分别计算测试系统故障后的电压幅值和无功功率，并将其结果进行比较.

节点的电压幅值误差定义为：

VPF为采用牛顿潮流法计算出来的故障后节点电压幅值，VDF为采用本文所提方法计算出来的故障后节点电压幅值.支路无功功率误差定义为：

QPF为采用牛顿潮流法计算出来的故障后支路无功功率，QDF为采用本文所提方法计算出来的故障后支路无功功率.

在所有的仿真之中，两个比较有代表性的故障如表1所示.第一个故障是断开节点4和节点6之间的支路.第二个故障是断开节点4和节点12之间的变压器支路.故障后所有节点的电压幅值和所有支路的无功功率如表1和表2所示.

从表1可以看出电压幅值误差相当小，当支路4－6断开时系统电压幅值最大误差为0.003，平均误差为0.001 2，小于文[10]所计算的电压幅值最大误差0.005 5和平均误差0.002 6.当支路4－12断开时系统电压幅值最大误差为0.006，平均误差为0.001 8，小于或等于文[10]所计算的电压幅值最大误差0.006和平均误差0.0029.

表1 IEEE30支路4－6和4－12故障后电压值Tab.1 Post－outage voltage for branch of 4－6outage in IEEE 30－bus test system P.U.

从表2可以看出，当支路4－6断开时，曲线拟合法所得各支路无功功率最大误差为2.882，平均误差为0.634 162.当支路4－12断开时，最大误差为2.489，平均误差为0.314 953.

表2 IEEE30支路4－6和4－12故障后支路无功潮流Tab.2 Post－outage varflows for baranch 4－6outage in IEEE 30－bus test system MVAR

表3描述了以基态负荷为准的不同负荷水平情况下，本文所提方法计算精度的变化情况.负荷有功、无功以及PV节点的有功都按相同比例增长.从表3可以看出，在不同负荷水平下，本文所提方法的计算误差没有太大变化，所以利用该方法所编程序计算性能相当稳定.

表3 IEEE30节点不同负荷等级情况下电压误差统计Tab.3 Error statistics for different loadings in 30－bus test system

表4给出了所提方法的CPU时间.采用的计算机具有512M内存、CPU速度为2.20GHz.从表4可以看出计算时间是本文方法的优势之一.而且，系统规模越大，本文方法的效率越高.

表4 牛顿法与曲线拟合法计算时间比较Tab.4 CPU time comparison between Newton and proposed method

3 结 论

本文提出将节点电压看成线路开断参数的函数，然后根据泰勒级数在函数关系曲线上确定几个点，基于拟合技术得到用线路参数表示的节点电压函数.特点是在计算不同故障线路、各阶导数时共用潮流计算收敛时的雅克比矩阵，不用重新对雅可比矩阵进行因子表分解，只需低阶泰勒展开就可得到精确的节点电压值，其计算速度比故障后重新进行牛顿潮流程序计算速度要快很多.将此方法在多个IEEE标准网络算例中进行了数值实验和时间比较，结果表明拟合方法可达到很高的精度要求.因此，对于大型电网的N－1电压估计在线监视和分析有重大的意义.

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