基于稀疏贝叶斯学习的多频带雷达信号融合

叶 钒 何 峰 梁甸农 朱炬波

(国防科技大学电子科学与工程学院,湖南长沙410073)

1.引 言

多频带雷达信号融合处理利用多部雷达在相同视角从不同频带获取目标的一维雷达观测信号,通过信号级的稀疏频带相干融合,提高雷达距离向分辨率[1-3]。它打破了传统的单雷达成像距离分辨率受限于单部雷达带宽的约束,可明显改善一维距离像质量。

传统的雷达信号融合技术主要为基于谱估计类的融合方法,例如多重信号分类方法(MUSIC)[4]以及修正的求根多重信号分类(Root-MUSIC)方法[2]、矩阵增强矩阵束(MEMP)方法[5]、状态空间方法[6]等。虽然这些方法的参数估计精度高,但是需要已知目标散射点个数,这在实际处理中往往是无法做到的。虽然存在众多模型阶数的估计方法,例如最小描述长度(MDL)方法[7]和bootstrap[8]方法,但是估计精度受噪声的影响很大。而基于自回归(AR)模型[3]、自回归积分滑动平均(ARIMA)模型[9]以及基于正则化[10]的外推内插方法,虽然对模型阶数相对不敏感、但是内插带宽的长度有限,不适合于稀疏子带信号融合[3]。

1995年S.Chen在其博士论文中提出了用于信号稀疏表示的基追踪(BP)原理[11]。对比于框架方法(MOF)、最优正交基方法(BOB)、匹配追踪方法(MP)等,BP的性能更加优越[12]。在多频带信号融合处理中,由于多个频带稀疏分布,使得观测系统矩阵的相干性被破坏,从而使得基追踪方法可能无法收敛到信号的真实稀疏表示。

针对以上问题,我们将稀疏贝叶斯学习(SBL)应用于融合处理,提出了一种基于SBL的多频带信号融合方法。此方法不仅避免了模型阶数估计,同时克服了BP算法局限性。

2.理论分析

2.1 信号观测模型

考虑多个理想点散射中心组成的雷达目标,散射中心的数目为K,各个散射中心到雷达的距离为rk,k=1,2,…,K,则目标谱域信号的离散形式可以写为

式中：n=0,1,…,N-1;σk为散射中心的幅度;τk=2rk/c为时延,c为光速;Δf为频率采样间隔。令 ω=Δfτk,易知 ω∈(0,1] 。

将数字频率离散化,令 ω=n/N,n=0,1,…,N-1,式(1)还可以写成如下的矩阵形式

式中：E=[E(0),E(1),…E(N-1)]T为观测向量;σ=[σ(0),σ(1),…σ(N-1)]T为一维距离图像;Φ=[φ0,φ1,…φN-1]为观测系统矩阵或者词典,其中

当有多部雷达数据时,由于雷达位置以及参考距离选取的不同,不同雷达的谱域测量数据存在不相关性[1-2]。因此,相关处理是融合处理前提。针对此问题王成在其博士论文中已经进行了详细的研究[13],这里就不再重复,假设多频带雷达信号都已经完全相关。那么如图1所示,多频子带雷达信号等价于全频带雷达信号的稀疏采样。

图1 多频带信号的稀疏分布示意图

考虑两部雷达信号的融合,雷达1信号E1的频率采样为n1=0,1…,L1-1,雷达2信号E2的频率采样为n2=N-L2,N-L2+1,…,N-1。则多频带信号的观测模型可以写为

式中,H为采样矩阵

式中,I为单位矩阵;0为零阵。式(5)的观测模型可以推广到更多频带信号融合的情况。

2.2 基追踪的局限性

信号的稀疏表示可以转化为如下的(P0)问题

基追踪考虑如下的(P1)问题

分析多频带的稀疏分布对观测系统矩阵的相关性度量的影响,首先给出几个必要的定义和定理。

定义1[14]：若 Φ已经归一化,记G=ΦHΦ,定义M(G)为 Φ的互相干度量,

定理1[14]：若(P0)问题的唯一解满足则σ0也是(P1)问题的唯一解。

定理1表明,如果实际信号并不满足一定的稀疏性,基追踪方法收敛到的全局最优解不一定等于信号的真实稀疏解。

在多频带信号融合处理中,观测模型满足式(4)。我们将证明子频带的稀疏分布会破坏观测系统矩阵的相关性度量

根据等比数列求和的公式,由式(9)可以得到如下的不等式

根据互相干度量的定义有

当实际目标中包含的散射点个数大于阈值(1+1/M(G))/2时,BP算法可能无法收敛到信号的真实稀疏解。另外由式(2)可知：当M=N时,目标的观测模型中的系统矩阵为正交傅立叶基,因此,M(G)=0,无论目标包含多少个散射点均满足式(8),而在融合处理中,由于频带的稀疏分布,破坏了矩阵的互相干度量,使得系统矩阵不再正交,M(G)≠0,因此根据定理1,BP算法的全局最优解可能不等于信号的真实稀疏表示。如图2所示,随着子频带长度的增加,C逐渐增大。

2.3 基于稀疏贝叶斯学习的融合方法

文献[15]中提到BP的先验信息为固定先验信息,存在结构误差。当后验模型不够稀疏,最优解就可能不等于真实稀疏解。而SBL方法不存在结构误差。稀疏贝叶斯学习方法的关键在于算法结合了一个依赖于未知超参数的可变的先验分布,这些超参数必须从数据中估计出来。

考虑含噪声的观测模型

假设p(E|σ)满足高斯分布,噪声方差为λ。对 σ中每个元素分配一个独立的高斯先验信息[15]

式中：γi为未知方差参数,则σ的后验概率密度为[15]

式中：

为了证明SBL算法在多频带融合处理中的有效性,先给出定义2

定义2[15]：如果由 Φ中N列组成任意子集构成了RN中的一个基,则称 Φ满足唯一表示性(URP)。

文献[15]中指出 Φ满足URP,那么利用SBL算法就可找到等价于(P0)问题的解。下面我们就证明在多频带融合处理中 满足URP条件。

证明：任意选取L1+L2列元素组成矩阵ˆΦ只需要证明rank(ˆΦ)=L1+L2即可。由 ˆΦ的结构可以知道

式中：H′为由任选的列决定的采样矩阵。由H′和H的构造方法可知,这两个矩阵经过初等变换可以变换为

由两个采样矩阵的秩为L1+L2。由矩阵秩的性质可知

另一方面由秩不等式可知

综合式(19)和式(20)可以知道,rank(Φˆ)=L1+L2,证明完毕。SBL算法适用于多频带信号融合处理。SBL算法步骤：

1)初始化超参数γ=1,或者非负随机向量;

2)利用式(15)计算∑和 μ;

3)利用EM算法更新γ

4)重复步骤2)和3),直到收敛到固定γ*

5)利用式(15)计算 μ*,令 σ=μ*

需要注意的是,SBL算法是定义在实数域上,而多频带雷达信号是复数据,因此,要对观测系统作如下的变换,才能运用SBL算法进行融合处理。

3.实验结果分析

利用仿真实验来说明基于SBL的多频带雷达信号融合的有效性,同时对比BP算法的融合结果,证明基于SBL融合方法的优越性。

假设全频带雷达信号的采样点数为100,信号包含七个单频分量,频点分别位于 30、32、40、42、43、44、45采样点处,幅度均为 1。全频带信号的前30个采样点构成低频带信号,后30个采样点构成高频带信号,然后在两个子频带信号上分别附加了信噪比为20 dB的高斯白噪声。图3为基于SBL的多频带信号融合处理的结果。

图3中褐色的点线为低频带信号的一维距离像,从图3中可以看出由于分辨力较低,无法从图像中分辨出七个频率分量。蓝色的虚线为基于BP方法的多频带融合处理结果,分辨率理论上足够分辨七个频率分量,但是由于频带稀疏分布,使得观测系统矩阵的相干度量被破坏,因此BP方法没有得到信号的真实稀疏表示,从图中来看出现了两个虚假峰值。而红色曲线表示基于SBL方法的多频带融合处理结果,可以看到七个频率清晰可分辨,频点位置估计精确,幅度也保持得很好。

实测数据的处理结果是：目标为雅克47飞机,理想全频带数据大小为128×256,选取前128×80个采样点为低频数据,后128×80个采样点为高频数据,图4为两种融合处理对比,在图4(a)中可以看到飞机的大致轮廓,其由机尾、机身、机翼和机头组成。图4(b)为雷达1信号的成像结果。由于带宽较窄,距离向分辨率较低,飞机的轮廓已经模糊,在图中也看不到机头。图4(c)为基于BP算法的多频带信号融合成像结果。相对于单雷达的成像结果,经过融合后,图像的分辨率明显提高,结构细节更加丰富,但是同样无法看到机头轮廓。而图4(d)为基于SBL算法的多频带信号融合成像结果。相对于前三幅图像,机尾、机身和机翼的结构更加细致,轮廓更加完整,机头的形状更加突出。从图中4可以看到基于SBL的多频带融合能够更好地恢复全频带数据,与理想全频带成像结果更加一致。

因此SBL方法适用于多频带雷达信号融合处理,处理性能要优于BP方法。

4.结 论

SBL方法是一种信号稀疏表示方法。它能够避免谱估计算法固有的阶数敏感性,又能消除由于频带稀疏分布给观测系统矩阵相干性度量所带来的破坏。相比BP算法,基于SBL的多频带雷达信号融合处理的性能更加优越。计算机仿真实验也验证了以上结论。

[1] CUOMO K M,PIOU J E.Ultrawide-band coherent processing[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,1999,47(4)：1094-1107.

[2] VANN L D,CUOMO K M.Multisensor fusion processing for enhanced radar imaging[R].Lexington,M assachusetts,United States：Lincoln Laboratory,2000,1-73.

[3] MORRE T G,ZUERNDORFER B W.Enhanced imagery using spectral-estimation-based techniques[J].Lincoln Laboratory Journal,1997,10(2)：171-186.

[4] 代大海,王雪松,肖顺平,等.高分辨相干极化GTD散射模型及其应用[J].电波科学学报,2008,23(1)：56-61.DAI Dahai,WANG Xuesong,XIAO Shunping,et al.High-resolution coherent polarization GTD model and its application[J].Chinese Journal of Radio Science,2008,23(1)：55-61.(in Chinese)

[5] 叶 钒,何 峰,梁甸农.基于EMEMP的雷达二维信号融合成像新方法[J].电子学报,2009,37(12)：2609-2613.YE Fan,HEFeng,LIANG Diannong.A new method for radar two-dimensional signal fusion based on EM EMP[J].Acta Electronica Sinica,2009,37(12)：2609-2613.(in Chinese)

[6] NAISHADHAM K,PIOU J E.State-space spectral estimation of characteristic electromagnetic responses in wideband data[J].IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters,2005(4)：406-409.

[7] WAX M,ZISKIND I.Detection of the number of coherent signals by the MDL principle[J].IEEE Transactions on Acoustics.Speech.And Signal Processing,1999,37(8)：1190-1196.

[8] 汪 玲,殷吉昊,陈天麒.宽带信号源个数估计频域bootstrap方法[J].电波科学学报,2007,22(1)：131-133.WANG Ling,YIN Jihao,CHEN Tianqi.Frequencydomain bootstrap method for source number estimation of wideband signals[J].Chinese Journal of Radio Science,2007,22(1)：130-133.(in Chinese)

[9] 王 成,胡卫东,郁文贤.基于非平稳时间序列处理的雷达信号融合[J].信号处理,2005,21(4)：338-343.WANG Cheng,HU Weidong,YU Wenxian.Radar signal fusion based on non-stationary time series processes[J].Signal Processing,2005,21(4)：338-343.(in Chinese)

[10] 熊俊志,杨子杰,王 勤.基于内插/外推的非连续谱高频雷达二维处理[J].电波科学学报,2006,21(5)：735-739.XIONG Junzhi,YANG Zijie,WANG Qin.2-D signal processing for discontinuous spectra hf radar based on interpolation/extrapolation[J].Chinese Journal of Radio Science,2006,21(5)：735-739.(in Chinese)

[11] Chen S S.Basis pursuit[D].USA：Standford University,1995.

[12] 汪雄良.基追踪方法及其在图像处理中应用的研究[D].湖南长沙：国防科技大学,2006.

[13] 王 成.雷达信号层融合成像技术研究[D].湖南长沙：国防科技大学,2006.

[14] DONOHO D L,ELAD M.Optimally sparse representation in general dictionaries via minimization[J].Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America,2003,100(5)：2197-2202.

[15] WIPF D P.Bayesian methods for finding sparse representations[D].San Diego：University of California,2006.