磁化等离子体覆盖导体散射问题的FE/BI方法分析

崔志伟 韩一平 李明磊

(西安电子科技大学理学院,陕西 西安710071)

1.引 言

近年来,由于等离子体隐身技术在军事领域的广泛应用,而使其成为国内外广泛关注的一个研究课题。等离子体既有损耗,又有色散,在有外加磁场作用时还表现出各向异性特性。当电磁波在磁化等离子体中传播时,等离子体不仅能够衰减入射波的能量,而且还能改变它的传播方向和极化方向,因此,在突防飞行器表面覆盖磁化等离子体可以吸收雷达波和形成波形畸变,从而减小雷达散射截面,使飞行器具有雷达隐身性能。要实现这种隐身方法,就需要定量分析磁化等离子体覆盖目标的电磁散射特性。磁化等离子体是一种特殊的各向异性介质,目前只有一些典型的磁化等离子体覆盖目标才可以得到严格的解析解,如球体目标[1]。但对于任意形状的三维复杂目标,解析方法往往无能为力,能够广泛发挥作用的唯有能够分析含有各向异性介质散射问题的各种数值方法,如积分方程法[2]、时域有限差分(FDTD)[3]方法和混合矢量有限元/边界积分(FE/BI)[4-5]方法等。FDTD方法是分析各向异性磁化等离子体覆盖导体目标与电磁波的相互作用的主要数值方法[6],但是采用FDTD方法需要将无限求解域截断,截断边界要保持与等离子覆盖层相当距离,以保证吸收边界的精度,这就扩大了求解域,更为不利的是吸收边界是近似的,其近似程度随散射体形状而变化。如果采用FE/BI方法分析这类问题,等离子体外边界就可以作为截断边界,等离子体内的场由矢量有限元给出,边界上的场由积分方程给出,两者通过连续性边界条件进行耦合,这样既利用了有限元法在处理复杂结构方面的通用性和灵活性,又利用了边界积分方程能够自动满足辐射边界条件,可以缩小求解域。虽然边界积分方程离散的稠密矩阵破坏了有限元离散矩阵的稀疏性,但可以用快速多极子技术加速矩阵与矢量的相乘来弥补这一不足。

本文给出了各向异性磁化等离子体相对介电张量与入射波频率、等离子体碰撞频率、等离子体角频率和电子回旋频率的具体关系,利用不同坐标系之间的转换矩阵,推导了任意外磁场方向情况下磁化等离子体的相对介电常数张量。详细推导了适用于分析各向异性磁化等离子体覆盖导体目标散射问题FE/BI公式。应用该方法计算了各向异性等离子体覆盖导体球的RCS,将计算结果与基于球矢量波函数得到的解析解进行了对比。最后以磁化等离子体覆盖导体圆柱目标为例分析了等离子体厚度、密度、碰撞频率和外磁场方向对雷达散射截面的影响。

2.理论分析

2.1 磁化等离子体的相对介电张量

磁化等离子体既有损耗,又有色散,同时也是各向异性的,其相对磁导率为一实数,而相对介电常数为一张量,其表达形式与所选取的坐标系有关。若以外加磁场B0的方向为z′轴,建立局部坐标系x′y′z′。在x′y′z′系中 ,磁化等离子体的相对介电张量(ω)为[7]

式中：

在外磁场局部坐标系中磁化等离子体的相对介电张量有简单的表达形式,而电磁测量往往是在实验室坐标系下建立的。实验室全局坐标系xyz中的相对介电张量(ω)可由外磁场局部坐标系x′y′z′中的相对介电张量(ω)转换而来[8],即

式中：U为xyz坐标系和x′y′z′坐标系的转换矩阵;UT为U的转置矩阵。

式中,θt,φt为外磁场局部坐标系在实验室全局坐标系中的方向角,如图1所示。

图1 外磁场在全局坐标系中的方位角

2.2 磁化等离子体覆盖导体目标散射问题的FE/BI公式

采用矢量有限元/边界积分(FE/BI)方法分析磁化等离子体覆盖导体目标散射问题的原理是将等离子体外边界Se(如图2所示)作为截断边界,等离子覆盖区域V内的场用矢量有限元给出,外部区域的场用边界积分方程给出,这两个区域的场在边界Se上通过连续性边界条件耦合起来,从而得到一个内部场和边界场解的完备方程组。

图2 磁化等离子体覆盖导体目标示意图

等离子体区域V内的电场满足下面泛函的变分[9]

式中：μr和εr分别为磁化等离子体的相对磁导率和相对介电张量,μr=1,εr的具体表达式由式(1)给出;V表示Si和Se所包围的区域;n表示Se边界的外法向单位矢量;k0是自由空间的波数=Z0H,其中Z0是自由空间的波阻抗。

在边界面Se上引入等效电流和等效磁流M,可建立如下的电磁场积分方程[9]

等效电流J和等效磁流M与边界上的电磁场有下面简单关系

方程中的两个算子定义为

式中G0(r,r′)为自由空间中标量格林函数。

为了离散泛函F和边界积分方程,将等离子体区域V离散为许多小四面体单元,对应的边界面被离散为许多小的三角面元。通过使用Whitley矢量基函数,每个体单元内的场可展开为[10]

式中,Ni是Whitley矢量基函数,而n×数恰好就是RWG基函数,Ei,Hi表示基函数的展开系数。

将式(14)和(15)带入式(7),对未知量采用全局编码,并通过求和运算,得到

按照里兹方法,取F对每个棱边场Ei的偏导数,并令其为零得到

式中：i=1,2,3,…,N,k=1,2,3…,Ns,N是所有未知量总数,Ns是边界面上未知量总数。式(19)可以写为矩阵形式

式中：B是Ns×Ns方阵,具体表达式参考文献[9];K是N×N方阵,由单元矩阵Ke=Ae-De组合而成,Ae和De的表达形式为

式中：Ae是6×6的对称矩阵的具体表达形式可以参考文献[10];De是6×6的非对称矩阵,的具体表达形式可以参考文献[4]。方阵K可以写为

将式(16)和(17)代入式(8)和(9),并选取合适的测试函数对积分方程进行离散可以得到联立方程(20)和(24)可以得到一个完备方程组

式中：EⅠ是区域V内的未知离散电场参量;Es和分别是区域边界Se上的未知电场和磁场参量;P和Q为边界积分方程阻抗矩阵;b为激励源向量,具体表达形式可参考文献[10]。

3.实验结果分析

为了验证程序的正确性,首先计算了一个导体球表面覆盖各向异性等离子体时的雷达散射截面。为了便于与已有的文献比较,取导体球的尺寸以及等离子体的电参数与文献[1]一致(见参考文献[1]、图4)。设导体球的半径为a,等离子体覆盖的厚度为d,两者分别满足关系k0a=π,k0d=0.15π。等离子体的电参数是 ε1=3.0,ε2=-1.0,ε2=5.0,这里假定外磁场局部坐标系和实验室全局坐标系一致,即外磁场沿+z轴方向。图3给出了该各向异性等离子体覆盖导体球的双站雷达散射截面,从图中可以看出FE/BI方法的计算结果与文献[1]中基于球矢量波函数得到的解析解吻合得非常好,说明本文方法及程序是正确的。

图3 各向异性等离子体覆盖导体球的双站RCS

图4给出的是外磁场沿不同方向时磁化等离子体覆盖导体圆柱目标的RCS。圆柱的底面直径d=1.0λ0,高h=1.0λ0,入射平面波从圆柱侧面沿 +y方向入射,其电场沿+z方向极化。入射电磁波的频率取3.0 GHz,对应的角频率 ω=3.0×2π×109rad/s。等离子体覆盖厚度d=0.5λ0,等离子体参数分别取 ωp=2.0×2π×109rad/s,vc=5.0 GHz,ωc=2.0×2π×109rad/s。从图4中可以看出,在导体圆柱表面覆盖一定厚度磁化等离子体能够有效地减小导体圆柱目标的RCS,且外磁场沿不同方向时RCS会有所变化,虽然变化不是很大,但是可以看出：当外加磁场方向与入射电磁波方向一致时(θt=90°,φt=90°),该目标的 RCS 相对要小些。

图4 外磁场沿不同方向时等离子体覆盖导体圆柱的双站RCS

下面以磁化等离子体覆盖导体圆柱为例,分析等离子体密度、覆盖厚度以及电子碰撞频率对雷达散射截面的影响。圆柱的尺寸以及电磁波入射方向和上例相同。图5给出了覆盖厚度为0.3λ0,0.4λ0,0.5λ0三种情况下磁化等离子体覆盖导体圆柱的RCS。等离子体参数取 ωp=2.8×2π×109rad/s,vc=5.0 GHz,ωc=2.0 ×2π×109rad/s,θt=90°,φt=90°。从图5中可以看出磁化等离子体覆盖厚度对导体圆柱的RCS影响很大。

图6给出的是(等离子体密度与等离子体频率的关系为 ωp≈56.4)磁化等离子体覆盖导体圆柱在不同等离子体密度情况下的 RCS仿真结果。取等离子体覆盖厚度d=0.3λ0,等离子体参数取ωc=2.0×2π×109rad/s,vc=5.0 GHz,θt=90°,φt=90°。从图6中可以看出RCS随着等离子体密度的增大而减小,这与已有的结论是吻合的。

图7给出了等离子体碰撞频率对RCS影响的仿真结果。等离子体参数取 ωp=2.8×2π×109rad/s,θt=90°,φt=90°,ωc=2.0 ×2π×109rad/s,覆盖厚度取d=0.5λ0.从图7中可以看出电子碰撞频率对RCS有一定的影响,这一点很容易从等离子体碰撞机理得到解释。

4.结 论

本文从有限元泛函出发,根据里兹方法推导出了能够计算各向异性磁化等离子体电磁散射问题的FE/BI公式,利用不同坐标系之间的转换矩阵,将该方法推广到能够分析外磁场沿任意方向情况下磁化等离子体覆盖导体目标的散射问题。该方法公式推导简单、对外磁场没有限制、还可以结合快速多极子技术求解电大尺寸磁化等离子体覆盖导体目标散射问题。应用该方法计算了导体球表面覆盖各向异性等离子体的RCS,计算结果与基于球矢量波函数得到的解析解吻合很好。以磁化等离子体覆盖导体圆柱目标为例分析了等离子体厚度、密度、碰撞频率和外磁场方向对RCS的影响。数值结果表明：适当选取等离子体参数,可以使等离子体包层有效地减小目标的雷达回波。

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