存在伪码多普勒条件下的XFAST性能分析

唐小妹，雍少为，王飞雪

（国防科学技术大学 电子科学与工程学院 卫星导航研发中心，湖南 长沙 410073）

1 引言

GPS信号采用C码和P码2种不同的伪随机码，其中，C码是一种低码率、周期重复的短码，主要用于民用系统；P码也称为军码，是一种高码率、长周期、加密伪随机码。正常情况下，可以通过对C码信号的捕获跟踪，实现对P码信号的引导；在战争或者某种突发事件的情况下，C码信号可能会被干扰或者关闭，这就要求接收机具有长码直接捕获的功能。

由 Dr. Yang C于 2002年提出的 XFAST（extended replica folding acquisition search technique）是一种改进的频域捕获算法[1,2]，其基本思想就是，将一个很长的伪码分成M个子段，每段长L点，并将各子段的对应位置进行算术相加，组成一个新的长为L点的重叠码。利用重叠码与接收信号进行相关运算，从而提高处理的并行性。

XFAST算法提出后引发了大量的研究，文献[3,4]仿真验证了 XFAST算法，没有给出具体的仿真输入条件，文献[5～8]用高载噪比条件下的个例仿真来说明XFAST的性能，由以上的分析可知，现有的性能分析文献存在缺乏精确的理论分析、信号电平的设置高于导航信号的实际使用情况、仿真条件过于理想[9]，用个例仿真结果代替统计结果等问题。

XFAST能够提高捕获搜索速度，然而多段PN码叠加后相关计算导致噪声信号能量与重叠段数成正比，导致等效输入载噪比的下降，为达到相同的捕获概率和虚警概率的要求，需要增加捕获的总积累时间。由于伪码存在多普勒频偏，致使相关函数产生主瓣展宽、峰值移位和降低等现象[10]，也会在捕获过程中引入损耗，导致增加积累时间并不能获得对应的增益。以上2点的矛盾导致XFAST的应用受限。目前已知的关于 XFAST的研究论文均忽略接收信号的伪码多普勒，在多普勒较大时会导致严重的模型误差。

本文在简要介绍XFAST的工作原理的基础上，建立XFAST的理论分析模型，并基于该理论模型，考虑存在码间互相关干扰及伪码多普勒的捕获和虚警概率的表达式，由于模型中有一些近似处理，为验证模型的准确性，对模型进行了仿真验证。

2 基于XFAST的长码直捕原理

中频AD采样后的数字信号，经过中频解调后，得到I、Q通道数据构成复信号进行FFT变换，同时本地伪码经过重叠后，进行FFT变换，结果取共轭后与接收信号FFT变换的结果相乘，然后进行反FFT变换，由频域相乘等于时域相关的原理，等效完成了时域接收信号和本地伪码的信号相关过程，经过平方律检波、非相干积累后进行捕获判决，若过门限则认为是成功捕获信号。

根据时域复指数相乘等效于频域偏移的原理，通过对接收信号 FFT变换后的结果进行循环移位实现对不同频率偏移下的伪码相关值的搜索，具体如图1所示[1,2]。

3 XFAST长码直捕性能分析

本节将首先介绍 XFAST的信号模型，对相干累加值的信噪比进行分析，并由此推导出捕获概率和虚警概率的表达式。

3.1 理论模型

假设输入的中频解调后的复信号[11]为

本地以采样间隔T、标称伪码频率 fc生成本地的伪随机码 P ( kT-τ1)，扩展复制重叠的段数为M，每段中的数据采样点数为L，则重叠后的伪码相位为

各分段对应的伪码相位间隔为LT。

接收信号转换到频域后，通过对频域数据的移位实现对接收信号的多普勒去除。FFT计算的点数为 PFFT，对应的频率分辨率为 fsPFFT，频域数据移位i位，等效于去除的多普勒频率 i fsPFFT。

时域的相关计算值为

其中，τ0-τ1为本地伪码和接收伪码起始相位误差；i为 FFT的第i谱线；L为相干累加长度；M为扩展复制重叠段数；k1表示利用接收数据为[k1,k1+L]段的数据计算。

图1 XFAST实现结构图

在一次相关计算中，由于伪码瞬时相位差受伪码多普勒影响随时间变化，在多普勒固定情况下，伪码平均相位差等于相关时间段中点的伪码相位差（图2中的“+”号所对应的伪码相位）。

图2 存在伪码多普勒时捕获过程中本地信号与接收信号间的相位差变化

由式（3）可知，相关计算并行搜索的平均相位差为

假设后积累的次数为q，则判决量可以写为

由式（4）、式（5）及图 2可知，对于一个固定的 m和 k0，由于伪码多普勒的存在，导致在0～(q - 1 )次相干积累过程中，本地伪码与接收到的伪码平均相位差会随伪码多普勒而变化：

当信号存在时，相关峰最大值出现在载波频率和伪码相位分别为与真实值最接近的搜索单元，下面将分别对最大相关值处的伪码相位和载波频率分别进行分析。

由文献[10]的一阶动态相关峰的对称性可以推导出：最大相关峰出现的位置为整个搜索过程中各子段的平均相位误差绝对值之和最小的伪码相位，即满足如下的表达式：

考虑参数的离散性，则相关峰最大值处，对应的m、L、k0的取值满足如下的等式：

其中，[]为四舍五入取整操作。

FFT的频率分辨率为 fsPFFT，则相关峰最大值对应的频率谱线为最接近真实频率 fd的谱线位置：

3.2 相干累加值的信噪比

由上节可知，存在多普勒情况下，各次相干积累对应的伪码相位不同，本节主要分析当信号存在时，捕获搜索过程中相关值最大处对应的相干累加信号的信噪比，为简化问题分析，假设相干累加是在同一个符号位内完成的。将式（3）中的R0(·)按照信号和噪声项展开，有

其中，

假设满足式(8)和式(9)的相关峰出现在相位为m = m′，k0= k0′，载波频率为i′处。

则式(10)可以写成如下的形式：其中，由P码良好的随机性可知，伪码的0/1概率分布与载波相位的变化是独立的，根据独立分布变量的互协方差为零，则相关累加后的信号部分可以写成如下的表达式：

噪声 n( k T)为独立分布的高斯白噪声序列，相关累加后的相关值 N1(·)的I支路和Q支路的分布为的正态分布，式中的，则服从均值为0、方差为 N0MLT的正态分布。

由以上分析可知，经过 XFAST相关后的信号信噪比可以写成如下表达式：

3.3 捕获概率和虚警概率

则对应的捕获概率和虚警率可以分别写为

对于虚警率给定的情况下，捕获概率可以写为

4 分析与仿真验证

由于捕获概率和虚警概率的解析表达式中采用了一些近似，为验证表达式的正确性，选取几组不同的参数进行验证。根据式（16）计算不同参数条件下的捕获概率和虚警概率，得到理论数值如表1所示。

表1 多普勒不确定度-6～+6k，采样率取为20.47MHz下的仿真参数设置

本文的统计验证采用MATLAB进行模拟仿真，伪码采用GPS的P码，信号模型如式(1)所示，一次捕获对应的不同参数的时频二维搜索仿真相关值分别如图3所示。

仿真1×107次，统计对应的捕获概率和虚警概率，对给定的捕获概率和虚警概率，仿真与理论的差异可以采用文献[13]中定义的等效信噪比进行评估，即比较与其检测性能相同的相干检测器在输入端的信噪比（D0）。

其中Q函数和误差函数的定义如下：

得到对应的性能参数如表2所示。

由性能分析可以得到如下4点结论。

1) 不考虑伪码多普勒的分析在不同的参数下引入的误差不同，总积分时间越长，伪码多普勒的影响越大，引入的误差越大，如参数4引入的误差为8.1dB。

图3 表1中的4组参数分别对应的二维搜索仿真图（最高处为相关峰位置）

表2 不同参数的捕获性能分析表

2) 本文的性能分析方法与仿真结果差异较小，最大等效信噪比差异小于 0.5dB，证明本文的性能分析方法是正确的，而不考虑伪码多普勒损耗。

3) 在伪码多普勒引入的码片误差在一定范围时，总积分时间的增大，会使捕获性能提升（如参数2和参数3）；若继续增大积分时间，导致码片误差损耗加大，反使捕获性能下降（参数3和参数4），说明伪码多普勒是性能分析中不得不考虑的因素。

4) 相同的总积分时间（参数1和参数2），参数分配的差异会导致性能的差异，即根据本文的性能分析结果，设置合理的优化目标，可以对捕获参数进行优化，本文由于篇幅的限制，不进行描述。

5 结束语

本文主要分析了伪码的互相关以及伪码多普勒影响下的 XFAST的捕获概率和虚警概率模型，对理论计算得到的概率公式通过实际仿真进行验证，验证结果表明，本文的捕获概率和虚警概率模型是正确的。当扩展复制重叠段数为1时，本文的模型可退化为常规的长码直捕算法的性能分析，指导接收机的设计。

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