是双曲线还是圆周?

许 文

(华中科技大学附属中学,湖北武汉 430074)

《中学物理》2006年第10期载有一文《对拉车一问题的深析》,文中作者从数学的角度对一拉车问题进行了深入的分析,笔者读后受益匪浅.但文中作者对拉车问题展开,提到了另一问题2,但对问题2分析得出的的结论我认为是值得商榷的.为便于商讨,这里将原文中问题2及部分分析与解答抄录如下:

图1

问题 2:有一长为 l的轻质弹性绳BC(绳两端固定),在离 B点l1远处的 A点进行施力F,试问 A点拉到什么位置能使两(段)绳子上的拉力(大小)相等,并确定此时拉力F作用线的方向?[注:为使问题表述更清楚,括号内文字为本人添加.]

解析:如图1所示(以弹性绳BC的中点为坐标原点O,BC为x轴,建立直角坐标系),令两段绳上拉力(大小)均为T,弹性绳的劲度系数为k,设将 A点拉到D点时满足题目要求,由公式 T=kΔx可知,要使两段绳上拉力(大小)相等,则应使(两段绳子的伸长量)Δx1=Δx2,然后分析证明得出D点到B、C两点的距离差为一定值,再从双曲线的定义知满足题目要求D点应在双曲线上时,两段绳子上有相等(大小)的拉力.

笔者认为以上的分析中“要使两段绳上拉力(大小)相等,则应使(两段绳子的伸长量)Δx1=Δx2”是值得商讨的.我们不妨设绳BA段长为l1,绳 AC段长为l2.应该分以下两种情况进行讨论:

(1)若l1=l2,则不难得出满足问题要求的D点应在y轴上(绳形变在弹性限度内).

(2)若l1≠l2,我们设弹性绳BA段的劲度系数为k1,弹性绳AC段的劲度系数为k2.由于同一种弹性绳的劲度系数与绳长度成反比,则有

由(1)、(2)式得

将(3)式变形得

图2

(4)式即为满足问题要求的D点所在的轨迹方程.显然这是一个圆心为0] 、半 径的一个圆.若令 l=2、l1=0.5、l2=1.5(均为长度单位),则可得D点所在圆周的圆心O′坐标为(-1.25,0),圆半径 R=0.75.如图2所示.

至于作用在D点拉力F的作用线,不难分析出应在∠BDC的角平分线上.

我们对此问题的数学分析,能很好的培养应用数学知识分析和解决物理问题的能力,落实新课标的教学理念.但为了严肃该问题的科学性,我们有必要对此问题作出以上的分析与讨论.