基于随机过程分析的项目投资柔性决策

向鹏成，向 敏

（1.重庆大学 建设管理与房地产学院，重庆 400045；2.重庆邮电大学 自动化学院，重庆 400065）

1 产品价格变动的随机过程

项目服务年限短则几年长则十几年甚至几十年，在这漫长的寿命周期中，价格受到许多随机因素的影响而波动，对这种波动进行准确的描述是非常困难的。在产品价格的长期预测实践中，经常用到时间序列法和供需平衡分析法，但它们的准确性都很不理想。这促使人们去寻求新的思路，即是放弃精确地预测出产品价格的某一水平的企图，而是考虑价格在项目寿命期内各种可能的波动过程，然后用统计模拟法来分析项目的不确定性，即采用基于随机过程分析的项目风险评价方法。

在经济研究中，产品价格变动通常被假定为服从对数正态扩散过程[1]（或称布朗几何漂移运动），在这种情况下，可以用如下偏微分方程来描述其随机波动过程：

式中：Pt为时间t时的产品价格；

dPt为在某一短时间间隔内的价格增量；

dz为在某一短时间间隔内的标准维纳过程增量；

μ为价格漂移率；

σ为价格波动率。

上述随机过程是一种连续的随机游走，偏微分方程中包含了价格变动的一般趋势及其随机扰动两个因素，从而使它更能反映出价格在时间序列上的动态特征。这一过程从性质上来说属于马尔柯夫过程，这就意味着价格的所有未来值只与当前时点价格、漂移率、波动率有关。这样，只要有了这三个参数，就可以用Monte Carlo模拟出今后的波动情况。

2 价格随机游走的模拟

在式（1）中，Pt是所欲模拟的某时点价格，dPt是某时点价格增量，μ、σ是给定的参数，dt为模拟过程的时间间隔。由此可见，欲获得价格的模拟值，关键就在于获得韦纳增量dz。由定义可知韦纳增量是标准正态变量x与时间增量dt平方根的乘积，即：dz=xdt，所以只要获得标准正态分布变量即可。一个标准正态分布的密度函数为

其随机数可用以下方法模拟产生：设r∈[0,1]的分布变量，n为独立分布随机变量数，那么近似地服从标准正态分布的变量。当n越大时，其准确度越高，实践表明，当时，其近似程度就相当不错了。这时有

通过上述的随机模拟方法，可以得到在项目寿命期内各年度产品的点价格系列，从而得到产品价格的变动趋势。

3 项目柔性决策与风险评估

传统的项目经济评价中，人们常用一恒定的价格来衡量项目产出的收益，以NPV为准则，并进行不确定性分析。这种方法简单易行，但反映不出投资者在风险条件下投资行为的主动性，这种主动性能使投资者在很大程度上驾驭风险，比如可以在产品价格较低的时候停止生产，而到价格较高时再进行生产。在实际的投资活动中，有许多项目都具有这种选择性，这种在投资决策过程中的选择性也就是我们通常所说的决策柔性，投资者在这种情况下对投资进行的管理就称为柔性管理。在进行项目决策时也应当考虑这种柔性带来的经济效益[2-3]。

对于某一建设项目，按传统项目经济评价准则只需满足NPV≥0，就可以进行投资。由于给定的投资项目的NPV是由项目寿命期内各年的净现金流所决定的，其净现金流往往由产品价格所决定。产品价格一般会受到各方面因素的影响而成为一个不确定量，在未来的时间里，产品价格可能上涨也可能下降，这就使得投资项目未来的净现金流也将变成一个不确定量。如果未来产品价格有明显下降趋势可能使得净现金流小于零，最终可能导致投资项目的NPV＜0；另一方面，未来产品价格尽管有上升趋势，但价格变动幅度不是很大，在项目整个寿命周期内也不足以收回期初投资，从而使得项目NPV＜0。因此，按传统项目经济评价方法进行决策将放弃该项目的投资。如果引入现代企业管理理念，加强管理的主动性，进行柔性管理，情况将会发生很大变化。

项目决策者利用充分利用市场信息得到产品的当前价格，可以模拟出今后的产品价格波动情况，从而进行决策。当未来第t年的产品价格下降使得净现金流Rt＜0时，决策经营者进行柔性管理，决定停止生产，此时令Rt=0，并将第t年的生产推迟到期末进行。这样，通过柔性管理可使项目的净现值NPV≥0或者大于采用传统决策方法时的净现值。这就是说利用传统评价方法经济上不可行的项目，如果加强管理的主动性进行柔性管理可能变成盈利的项目，或者说进行柔性管理可以使项目得到更多的盈利。

通过价格随机游走的模拟，可以得到项目未来各年的点价格系列，利用这些点价格便可计算出相应的评价指标，如NPV、IRR等。每一次点价格系列模拟得到一个指标值，依此可重复模拟N次，获得N个指标值。将这N个指标值作为样本点，可以估计其均值、标准差、指标值小于零的概率等，从而达到项目决策和风险评估的目的。这一过程涉及伪随机数的产生和大量的数据计算，由此需要借助于电子计算机。可以通过MATLAB 6.5软件编程对NPV、IRR等评价指标进行随机模拟，并计算各指标的均值、标准差及小于零的概率等[4-6]。

4 案例实证研究

在此以某金矿开采投资项目为例，其有关数据如下：

基本建设投资500万元；年运营成本400万元；年生产能力为5万g；假设项目建设期为1年；项目服务年限为10年；预计金矿投产时的价格P0=100元/g；资本折现率为8%。

在本例中假定黄金价格与国际市场价格相同，并按固定的汇率换算成人民币。从近几十年来国际黄金价格变动趋势来看，其增长速度为一个很小的价值，或者可以说黄金的实际价格有显著的上扬或下跌长期趋势，因此在本例分析中假定价格漂移率，并根据其波动的历史数据设置波动率基本值σ=10%，然后对u,σ作不同水平的分析。

利用价格随机游走的模拟方法，考虑柔性决策的需要，可以获得未来第1～15年金矿的可能价格，并据此可计算出项目各年的净现金流量，进而得到项目的净现值。按上述方法进行重复模拟，一般来说模拟500次能基本反映出真实情况。在此借助MATLAB 6.5软件进行随机过程模拟，为了更精确地反映实际情况，在本案例中模拟1000次，从而得到1000个净现值，将这1000个净现值作为样本计算其期望值、标准差和项目NPV＜0的概率。项目NPV＜0的概率对于决策者来说是一个非常重要的信息，因为它能告诉人们此项目在多大程度上失效，反映项目的风险程度。通过随机模拟可以得到传统决策方法与柔性决策方法的结果比较，如表1所示。

从表1可以看出，项目的效益与风险状况随着μ、σ的变化会发生变化。采取传统决策方法时，当波动率σ一定时，随着价格漂移率的增加，NPV的期望值随之增大，标准差增大但变化不是很明显，NPV＜0的概率随之减小；当μ一定时，随着σ的增加，NPV的期望值随之增大，标准差也增大，NPV＜0的概率也随之减小。最希望看到的是σ很小、μ较大（σ=5%,μ=2%），此时，NPV＜0 的概率仅为 5.2%，这时项目的投资风险是很小的。这表明，在波动率σ一定的条件下，随着价格漂移率μ的增长对项目投资越有利，项目的风险越小。

表1 各种不同μ、σ组合的模拟结果

当进行柔性决策时，NPV的变化趋势与传统决策方法时变化趋势是一致的，但其NPV的期望值将增大，标准差将减小，NPV＜0的概率也将减小。进行柔性决策所带来的效果也随着的变化而变化。当u一定时，随着σ的增加，进行柔性决策所带来的效果也随之增大，当波动率一定时，随着价格漂移率增大，进行柔性决策所带来的效果将减小。当μ很小、μ较大时（μ=0、σ=15%）时，进行柔性决策所带来的效益最大；当μ较大、σ较小时（μ=0、σ=5%），进行柔性决策所带来的效益不是很明显。这也就是说项目风险较大的情况下进行柔性决策会带来较好的效益，而在项目风险较小时进行柔性决策所带来的效益不是很明显。表1所反映的项目效益与风险状况随着存在很大差异，其原因在于在对项目服务期内产品价格的模拟过程中对随机游走选取了不同的参数所致。由此可见，考虑项目寿命期中的价格变动情况对项目决策和风险分析是非常重要的。

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