含时滞与阻尼项的二阶半线性微分方程解的振动性

高正晖， 罗李平

(衡阳师范学院 数学系， 湖南 衡阳 421008)

运用Riccati变换和H函数方法，获得了该方程解的振动性的若干充分条件.

1 问题的引入

考虑一类含时滞与阻尼项的二阶半线性微分方程

[r(t)|x′(t)|α-1x′(t)]′+p(t)|x′(t)|α-1x′(t)+
q(t)|x(σ(t))|α-1x(σ(t))=0 (t>T)，

(1)

定义方程(1)的一个非平凡解x(t)称为是振动的,如果它有任意大的零点,否则x(t)称为是非振动的.

由于在核能物理，气体动力学和流体力学等方面有着广泛应用的Emden-Fowler方程

x″(t)+λ(t)|x(t)|α-1x(t)=0 (α>1)，

是一个半线性微分方程，基于半线性微分方程的实际应用背景，吸引了许多学者的研究兴趣. A. Elbert[1]首次提出了半线性微分方程的概念，并对半线性微分方程的初值问题解的存在唯一性及解在[0,+∞)上的拓展进行了研究;随后Horng Jaan Li and Cheh Chih Yeh[2]，Ravi P. Agarwal and S. R. Grace[3]，Arpad Elbert，Kusano Takasi and Tomoyuki Tanigawa[4]，Chen Wendeng and Yu Yuanhong[5]及文献[6-7]等对二阶半线性微分方程解的振动性进行了研究;Qigui Yang and Suisun Cheng[8]，陈目，徐志庭[9]等研究了具有阻尼项的半线性微分方程解的振动性，获得了若干判定准则.而对具有时滞与阻尼项的二阶半线性微分方程解的振动性尚未见相关研究，本文的目的是运用Riccati变换和H函数方法，给出方程(1)解的振动性的若干判定准则.

引理[10]如果X,Y是非负数,那么

Xq+(q-1)Yq≥qXYq-1(q>1)，

其中等号成立当且仅当X=Y.

2 主要结果

令D0={(t,s)|t>s≥t0},D={(t,s)|t≥s≥t0}.

定理假设存在函数H(t,s)∈C1(D,R),h(t,s)∈C(D0,R)和ρ(t)∈C1([T,+∞),(0,+∞)),使得

①H(t,t)=0,H(t,s)>0;

则方程(1)振动.

下证x′(t)≥0. 若不然, 对T≥t2,当t≥T时,有x′(t)<0, 令u(t)=-r(t)|x′(t)|α-1x′(t)，则u(t)>0.

u′(t)=-(r(t)|x′(t)|α-1x′(t))′=p(t)|x′(t)·

则有

即

(2)

对方程(2)在[T,t]上积分,得

(3)

令t→+∞并结合条件(H1),有

这与x(t)>0矛盾, 所以x′(t)>0,因此有x″(t)≤0. 从而x′(t)≤x′(σ(t)).

作Riccati变换

则w(t)≥0.

因此,得

ρ(t)q(t)≤-w′(t)+

(4)

将方程(4)的t换为s并两边同乘H(t,s),在[T,t]上关于s积分,得

(5)

令

由引理,可得

(6)

由方程(5)(6)可知

(7)

对方程(7)两边同除H(t,T)并令t→+∞有

这与条件(H2)矛盾. 定理得证.