基于等面积法的多电平逆变器SPWM方法

费万民 都小利 居 荣 吴 勤

（南京师范大学电气与自动化工程学院 南京 210042）

1 引言

多电平变换器具有输出容量大、开关频率低、波形质量高等显著优点，是中高压调速、交流柔性输电技术的首选方案[1-2]。脉宽调制方法是多电平逆变器控制策略的核心，对功率变换器的整体性能具有至关重要的作用。多电平逆变器的 PWM方法，主要有基于空间矢量的SVPWM方法[3]、基于多载波的 SPWM 方法[3-8]和基于非线性超越方程组的SHEPWM方法[9-16]等。SVPWM方法是通过空间电压矢量等效合成的方法来逼近正弦参考信号，具有电压利用率高、硬件电路简单、在大的调制比范围内有很好的控制性能等优点，但计算相对复杂，特别是当电平数大于5以后，由于电压空间矢量的数目大大增加，其控制算法就变得非常复杂，实现困难。SHEPWM方法通过计算选择开关时刻，来消除选定的低频次谐波，具有开关频率低、波形质量好等优点，但往往需要在线求解非线性超越方程组，编程和计算工作量大，在需要变频的场合，还需要大容量的程序和数据存储器。所以，在要求系统简单、可靠、成本低廉和开发周期短的场合，上述两种方法均不合适，而基于多载波的SPWM方法更具有优势。

基于多载波的多电平 SPWM 方法可以分为基于模拟电路实现的自然采样法和基于数字计算的规则取样法两种。基于模拟电路的自然采样法具有快速、技术成熟、波形质量好和基波控制精度高等优点，但一旦设计完成，修改和改进困难，不利于数字化实现。基于数字计算的规则取样法，采用数字计算和编程方法实现，具有易修改、便于升级和加入先进的控制方法等显著优点，但为简化计算而采取的近似方法使正弦波和调制结果较差，增加了输出谐波含量，降低了基波控制效果。另一方面，基于多载波的SPWM方法在参考信号变化时，三角载波和参考信号在两个载波信号的交接处附近的交点数变化规律复杂，使得开关频率在一定范围内变化，而且难以保证波形的对称性特点，从而导致产生偶次谐波，特别是直流分量，对逆变器和负载产生严重影响。为此，必须对三角载波进行严格定义，从而大大增加了基于多载波的多电平 SPWM 方法的复杂性[4]。文献[17]对基于面积等效的级联多电平逆变器的阶梯波合成方法进行了较好的研究，但没有对频率较高的调制方法进行探讨，有失一般性。

考核逆变器 SPWM 控制方法性能优劣的指标主要有两个，其一是基波幅值的控制精度，表达了对负载功率的控制能力；其二是谐波含量，谐波含量越低，需要的滤波器尺寸越小，供给负载的电能质量越高。本文从脉宽调制的基本原理——冲量定理出发，针对1/4周期对称波形，根据分区内PWM波形与参考信号波形的重心相对位置，选三种典型多电平 PWM方案，以五电平逆变器为例，研究了在较低开关频率下输出电压谐波含量与基波控制精度随 1/4周期内每一个分区的 PWM波的重心位置的变化规律，以此为依据，提出了基于等面积法的数字化PWM方法的优化方法。采用PSIM6对新的SPWM方法进行了仿真，制作了级联五电平逆变器实验电路并进行了实验研究，结果证明了新的SPWM方法的有效性和实用性。

2 基于等面积法的多电平SPWM的原理

2.1 基于等面积法的SPWM基本原理

逆变器脉宽调制的根本原理是冲量定理，即：面积相等而形状不同的“窄”脉冲，加在具有惯性的环节上时，产生的作用基本相同。假设PWM波具有1/4周期对称特点，多电平逆变器具有L个输出电平，一个电平电压为 E，则根据面积相等的原则，将 1/4周期分成若干等份，每一个等份称为一个分区，分区长度为Tf，当在第i个分区内参考信号与时间轴构成的面积位于(N-1)ETf和NETf之间时，可以用下部长度为Tf、高度为(N-1)E和上部宽度为Twi、高度为E的两个矩形波叠加而成的PWM波代替，如图1所示，上述各参数满足

式中 Um——正弦波的峰值；

ω ——正弦波的角频率。

根据式（1），可以得到上部矩形波的宽度 Twi的计算公式如下：

图1 三种典型SPWM方案示意图Fig.1 Principle of the three typical SPWM schemes

所谓“窄”脉冲，是指逆变器的开关频率必须足够高。众所周知，应用于中高压场合的多电平逆变器由大容量开关器件组成，一般来讲，开关频率较低，使得脉冲可能不够“窄”，对这种宽度不够“窄”的脉冲而言，形状不同，波形在时间轴上的重心（也就是等效作用时间）也不同，对惯性环节的作用效果或许不同。基于这样的判断，研究了 PWM波的形状或重心位置对逆变器控制性能的影响。

在一个分区内，PWM波的下部矩形的宽度Tf、高度(N-1)E和在时间轴上的位置都是完全确定的，而上部矩形的高度E、宽度Twi也是确定的，但在时间轴上的位置可以变化，从而引起PWM波形和重心位置的变化。所以，取上部矩形置中、PWM 波的重心与参考信号重心重合、重心置后等三种典型方案，如图1a～图1c所示（其中的Tgi为参考信号在该分区的重心）。以五电平逆变器为例，分别研究了每一种情况下，输出电压的波形畸变系数 THD和基波控制精度随调制比的变化规律，旨在为SPWM方法的优化提供科学依据。

多电平逆变器输出电压的波形，在电平电压确定的情况下，同一个周期内由波形的上升沿、下降沿所构成的时间序列，存在着严格的一一对应的关系。由于正弦信号具有 1/4周期对称的特点，只需求取 1/4周期内的上升沿和下降沿时间序列，一个周期内的其他时间序列可以通过周期性拓展得到。由于保证了波形的对称性，因而保证了输出电压无偶次谐波，特别是无直流分量。

下面分别介绍三种PWM方案中1/4周期内上升沿、下降沿时间序列的求取方法和数据计算结 果。

2.1.1 重心置中

按照习惯，简单地将 PWM波的重心置于分区的正中，也就是说将上部的矩形置于分区的正中，如图1a所示，由于在第一个1/4周期内参考信号单调上升，参考信号重心在分区的中点之后。由于正弦波在90°为峰值，为使PWM波保留该特点，将1/4周期分为J+0.5等份，则第i个分区内PWM波的上升沿、下降沿的计算公式为

2.1.2 重心重合

让每一个分区内的PWM波的重心与参考信号的重心重合，应该能够增强 PWM波和参考信号在时间上的等效性，从而提高逆变器的控制性能，如图1b所示。为了保证PWM波在90°处与参考信号取峰值一致的特点，仍然将 1/4周期分为 J+0.5个等份，根据重心的概念，可以得到第 i个分区内参考信号在时间轴上的重心坐标为

设参考信号的重心与两个矩形构成的 PWM波的重心相等，可以得到PWM波在第 i个分区内的上升沿Tri和下降沿Tfi为

由于PWM波的几何特点，根据式（7）计算出的 Tfi可能大于该区间的边界 iTf，在此情况下，上升沿、下降沿被限定如下：

对重心置中和重心重合两种方案而言，当参考信号在第i个分区内与时间轴构成的面积在 (N-1)ETf和NETf之间，而在i +1个分区内与时间轴构成的面积在 NETf和（N+1）ETf之间时，则 iTf为式（3）或式（7）、式（9）之外的一个上升沿，对于具有L个输出电平的逆变器而言，在 1/4周期内，这样的上升沿最多有[(L-1)/2-1]个。

2.1.3 重心置后

为了探讨重心位置对SPWM控制效果的影响，特别研究了重心置后SPWM方案，即将每一个分区内PWM波重心尽可能后移，使PWM波上部的矩形与分区的右边界对齐，如图1c所示。则在第i个分区内 PWM波的上升沿和下降沿，只需用简单的式（8）和式（9）来计算。在该方案中，将 1/4周期分为整数J个分区，根据1/4周期对称特点拓展后的SPWM波形，能满足在90°处输出电压为峰值的特点。

对重心置后方案而言，当参考信号在第 i个分区内与时间轴构成的面积在（N-1）ETf和 NETf之间，而在i+1个分区内与时间轴构成的面积在NETf和(N+1)ETf之间时，则(i-1)Tf既是前一个分区的下降沿，又是后一个分区的上升沿，总的效果是PWM波在该点不变化，对于具有L个输出电平的逆变器而言，在1/4周期内，这样的上升沿最多有[(L-1)/2-1]个。

2.2 算例及分析

衡量每一种SPWM方法性能优劣的指标，主要有基波控制精度和输出波形质量等两个方面。1/4周期内开关切换点个数体现了逆变器的开关频率，只有在相同开关频率下，对每一种SPWM方案进行比较才有实际意义。为此，在重心置中、重心重合两种方案中，将 1/4周期分成 4.5个等份，而在重心置后方案中，将1/4周期分为6个等份，从而保证了在三种方案下，1/4周期内均得到10个开关切换点。为了定量分析三种SPWM方案的性能，以五电平逆变器为例，并取一个电平电压E=100，选1/4周期内10个开关切换点（即PWM波的上升沿和下降沿），计算了调制比以 0.5为间隔、从 0.55～1.0变化范围内的基波幅值和计及 50次以下各次谐波的波形畸变系数THD。在调制比小于0.5之后，基于等面积法 SPWM 控制的五电平逆变器退化为三电平逆变器，因此，对调制度小于 0.5情况下的数据，没有计算。

为了使表达无歧义和便于读者验算，本文中对具有 L个电平的多电平逆变器的基波控制精度 Fp和波形畸变系数THD定义如下：

式中 M——调制度；

E——一个电平的电压；

V1m——输出电压基波幅值。

具有 1/4周期对称波形特点的相电压的基波和各次谐波幅值，计算公式如下：

其中

式中tk为采用等面积原则计算出的PWM波形的开关切换时间，分为上升沿和下降沿两种。

分别根据式（1）～式（11），可以得到开关切换点，并进一步计算出波形畸变系数THD和基波控制精度Fp，绘制出曲线如图2所示。

从图2可以得到如下结论：

图2 三种SPWM方案下波形畸变系数THD和基波控制精度随调制比M的变化曲线Fig.2 Curves of precision of fundamental and THD vs modulation index M under different control schemes

（1）随着 M的增加，三种 SPWM 方案下的THD均单调下降，而且，重心置中 SPWM方案的THD最大，重心重合SPWM方案的THD次之，重心置后SPWM方案具有最小的THD。更进一步地研究发现，对 1/4周期对称 SPWM方法而言，随着每个分区内 PWM波重心的后移，THD明显减小。

（2）重心置中SPWM方案得到的基波幅值最低，重心重合 SPWM方案次之，重心置后 SPWM方案取得的基波幅值最高。更进一步地研究发现，对1/4周期对称SPWM方法而言，随着每个分区内PWM 波重心的后移，基波幅值有所增加。就基波控制精度而言，重心重合SPWM方案的基波控制精度最高，小于±0.3%，可以认为能够实现对基波的精确控制；重心置后SPWM方案的基波控制精度随M从0.55～1.0的变化，变化范围为1.8%～1%；而重心置中SPWM方案中，基波控制精度约为-0.9%，几乎不随M的变化而变化。

SPWM方案性能的优劣，主要体现在波形质量和基波控制精度等两个方面。THD越小，输出波形质量越高，所需要的输出滤波器的尺寸越小。基波幅值的控制精度越高，逆变器对负载功率需求的控制能力越强，输出电压稳定度越高。而在工业现场，负载电压不仅和控制信号有关，还和电网电压、负载波动甚至其他环境干扰有关，即使所采用的SPWM 方案有很高的静态控制特性（如重心重合SPWM 方案），如果不采取闭环控制，仍然难以实现高精度的基波电压控制；另一方面，一旦采用了基波电压闭环控制，即使采用基波控制精度不够高的重心置后SPWM方案，也同样可以实现很高的电压控制精度。在需要采用开环控制的场合，虽然采用重心重合 SPWM 方案能够实现基波控制精度高的目标，但波形畸变系数较大，滤波器尺寸较大。同时，从图2b可以看到，重心置后SPWM方案的基波控制相对误差随M从0.55～1.0的变化，变化范围为 1.8%～1%，均为正偏差，且近似为线性，非常易于通过补偿而达到更高的精度。如果通过对调制比 M 的补偿，能够显著提高基波控制精度的话，则采用重心置后SPWM方案，可以在不增加硬件成本和保留波形畸变系数低的前提下，实现高的基波控制精度，具有很高的实用价值。

2.3 带有简单基波补偿的重心置后SPWM方案

为了定量分析重心置后 SPWM 方案的基波控制精度和波形畸变系数随M的变化规律，将本文算例中该方案的数据表格列举见表1。

表1 重心后移SPWM方法的计算结果Tab.1 Computing results based on baricenter-set-to-right SPWM method

从表1可以看出，在M从1.0～0.55的整个变化范围内，基波幅值的计算结果比理论值2ME高出的差额在1.87～2.05V之间，而且多数集中在2V附近，对五电平逆变器而言，相当于 M值 0.01的正误差，为此，取式（1）、式（2）中参考电压的峰值Um如下所示：

再分别根据式（1）～式（11），可以得到开关切换点、波形畸变系数THD和基波幅值，见表2，进一步绘制的THD和基波控制相对精度Fp的曲线如图2中的曲线4所示。由此可以看出，经过非常简单的基波补偿算法，就可以在保留波形畸变系数很低的优点的前提下，取得很高的基波控制精度，带有基波补偿的重心置后 SPWM 方案具有非常显著的优势。

3 仿真研究

为了验证所提SPWM方法的有效性，以级联五电平逆变器为例，取电平电压E=100V，M=0.9，以表2中第3行数据为例，对新提出的SPWM方法进行了仿真研究。由于本文研究的多电平 SPWM 方法，具有一般意义，和电源装置的相数无关，所以，采用单相结构的逆变器进行仿真和实验研究，电压仿真波形及其频谱分析如图3所示。仿真结果与计算结果是一致的，证明本文提出的基于等面积法的数字化SPWM方法是有效的，而且带有基波补偿的重心置后方案在基波控制和谐波削减方面，均具有显著优势。

表2 带基波补偿的重心后置SPWM方法的计算结果Tab.2 Computing results based on baricenter-set-to-right SPWM method with fundamental compensation

图3 等面积法SPWM相电压仿真波形及其频谱分析Fig.3 Simulation waveform of phase voltage and its frequency spectrum of the proposed SPWM scheme

4 实验研究

为了进一步验证新的多电平 SPWM 的控制效果，制作了单相级联型五电平逆变器电路模型，其中的开关管采用 RF840型 MOSFET，E=100V，以136Ω线绕电阻为负载，对仿真研究中的一组上升沿、下降沿组成的时间序列，进行了实验验证，实验波形如图4所示。实验与仿真及计算结果一致，不但谐波含量很低，而且，具有很高的基波控制精度。

图4 五电平逆变器新型SPWM方法的实验波形Fig.4 Experimental waveform of five-level inverter based on novel SPWM method

5 结论

（1）应用于中高压场合的多电平逆变器由大容量开关器件组成，一般来讲，开关频率较低，可能不满足冲量定理对脉冲频率的要求，在此情况下，PWM 波形状不同，波形在时间轴上的重心（也就是等效作用时间）也不同，对惯性环节的作用效果也不同。本文研究发现，对 1/4周期对称波形的SPWM方法而言，每一个开关周期内PWM波的重心与输出的基波控制精度和谐波含量有着重要关系：随着第一、三（二、四）个 1/4周期内凸形波重心的右（左）移，基波幅值逐渐增加，波形畸变系数THD明显减小；反之，随着第一、三（二、四）个 1/4周期内凸形波重心的左（右）移，基波幅值逐渐减小，波形畸变系数THD明显增加；当凸形波的重心与原参考信号的重心重合时，基波控制精度最高，可以近似理解为基波幅值达到预期的参考信号的幅值。该结论为SPWM方案的选择提供了重要依据，具有非常重要的实用价值。

（2）在三种SPWM方案中，重心置后方案能提供最低的波形畸变系数，能够显著减小输出滤波器尺寸，但基波控制精度较低。通过引入简单的基波补偿算法，可以在保留输出波形质量的前提下，保证很高的基波控制精度。本文所提的基于等面积法的数字化SPWM算法是可行的，从计算公式可以看出，计算非常简单，易于编程和快速实现，能够克服规则采样SPWM方法的一系列缺点。

（3）仿真、实验与结算结果一致，证明本文所提方法是可行的、实用的。

[1]Lai Jisheng, Peng Fangzheng. Multilevel converter-a new breed of power converters[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 1996, 32(3): 509-517.

[2]José Rodríguez, Steffen Bernet, Wu Bin, et al.Multilevel voltage-source converter topologies for industrial medium-voltage drives[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2007, 54(6): 2930-2945.

[3]Seo J H, Choi C H, Hyun D S. A new simplified space-vector PWM method for three-level inverters[J].IEEE Transactions on Power Electronics, 2001, 16(4):545-550.

[4]Brendan Peter McGrath, Donald Grahame Holmes.An analytical technique for the determination of spectral components of multilevel carrier-based PWM methods[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics,2002, 49(4): 847-857.

[5]Donald Grahame Holmes, Brendan Peter McGrath.Opportunities for harmonic cancellation with carrier-based PWM for two-level and multilevel cascaded inverters[J]. IEEE Transactions on Industrial Applications, 2001, 37(2): 574-582.

[6]Sirisukprasert S, Lai J S, Liu T H. Optimum harmonic reduction with a wide rang of modulation indices for multilevel converters[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2002, 49(4): 875-881.

[7]McGrath B P, Holmes D G. Multi-carrier PWM strategies for multilevel inverters[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2002, 49(4): 858-867.

[8]吴洪洋, 何湘宁. 级联型多电平变换器 PWM 控制方法的仿真研究[J]. 中国电机工程学报, 2001,21(8): 42-46.Wu Hongyang, He Xiangning. Research on PWM control of a cascade multilevel converter[J].Proceedings of the CSEE, 2001, 21(8): 42-46.

[9]Tolbert L M, Chiasson J, McKenzie K, et al.Elimination of harmonics in a multilevel converter with nonequal DC sources[J]. IEEE Transactions on Industrial Applications, 2005, 41(1): 75-82.

[10]孙宜峰，阮新波. 级联型多电平逆变器的功率均衡控制策略[J]. 中国电机工程学报，2006，26(4):126-133.Sun Yifeng, Ruan Xinbo. Power balance control schemes for cascaded multilevel inverters[J].Proceedings of the CSEE, 2006, 26(4): 126-133.

[11]郑春芳，张波，丘东元. 基于 Walsh变换的多电平逆变器谐波消除技术[J]. 电工技术学报，2006，21(7): 121-126.Zheng Chunfang, Zhang Bo, Qiu Dongyuan. Selective harmonic elimination technique based on walsh transform for multilevel inverters[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2006, 21(7): 121-126.

[12]费万民，吕征宇，姚文熙. 多电平逆变器特定谐波消除脉宽调制方法的仿真研究[J]. 中国电机工程学报，2004，24(1): 102-106.Fei Wanmin, Lü Zhengyu, Yao Wenxi. Research of selected harmonic elimination PWM technique applicable to multilevel voltage inverters[J].Proceedings of the CSEE, 2004, 24(1): 102-106.

[13]费万民，吕征宇，姚文熙. 三电平逆变器特定谐波消除脉宽调制方法的研究[J]. 中国电机工程学报，2003，23(9): 11-15.Fei Wanmin, Lü Zhengyu, Yao Wenxi. Research on selected harmonic elimination PWM technique applicable to three-level voltage inverters[J]. Proceedings of the CSEE, 2003, 23(9): 11-15.

[14]费万民，阮新波，张艳莉，等. 多电平逆变器SHEPWM 方法的初值问题研究[J]. 中国电机工程学报，2007, 27(13): 87-92.Fei Wanmin, Ruan Xinbo, Zhang Yanli, et al.Research on the initial values of SHEPWM method for multilevel voltage inverters[J]. Proceedings of the CSEE, 2007, 27(13): 87-92.

[15]费万民，张艳莉，阮新波, 等. 三电平逆变器SHEPWM 非线性方程组的求解[J]. 中国电机工程学报，2008，28(6): 62-68.Fei Wanmin, Zhang Yanli, Ruan Xinbo, et al.Solutions to the SHEPWM non-linear equations for three-level voltage inverters[J]. Proceedings of the CSEE, 2008, 28(6): 62-68.

[16]费万民，张艳莉，王学华，等. 多电平逆变器SHEPWM 问题的解的包含关系[J]. 中国电机工程学报，2008，28(15): 61-66.Fei Wanmin, Zhang Yanli, Wang Xuehua, et al.Inclusion relationship of the solutions of SHEPWM techniques for multilevel inverters[J]. Proceedings of the CSEE, 2008, 28(15): 61-66.

[17]张允，邹云屏，丁凯. 面积等效原理的新型多电平变换器控制算法[J]. 电气传动，2005，35(1): 19-22,43.Zhang Yun, Zou Yunping, Ding Kai. Novel control algorithm of multilevel inverter based on equivalent area[J]. Electric Drive, 2005, 35(1): 19-22, 43.