教给学生解题后的反思

✿重庆市新海实验中学 林玉燕

经过多年的数学教学，我认为把应该解题的真实思考过程讲给学生，教给学生解题后的反思很重要，因为有些数学题，当我们对所证（解）出的结果进行反思时，一种顺理成章、豁然开朗的证（解）法就呼之欲出了.下面以讲解一道中考题为例.

例：将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E， 交BC于F，AB边折叠后与BC边交于点G（如图1所示）.

（1）如果 M 为 DC 边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；

（2） 如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.

图1

第（1）问由勾股定理建立一元二次方程不难解决，在处理第（2）问时，由于点M是CD边上的任意一点，所以猜测△CMG的周长应该与DM的长度相关，于是有了以下的常规解法.

解：（1）略；

（2）∵MD=x，∴ CM=2a-x.

设 DE=y，则在 Rt△DEM 中，由 y2+x2=（2a-y）2可得4a2-x2=4ay.

（特注：L△CMG表示△CMG的周长，其余类同.）

故△CMG的周长为4a，与点M在CD边上的位置无关.

解题后的反思：引导学生观察思考，鉴于△CMG的周长为4a，恰好等于CD+CB的长.又∵CM、CG分别是CD、CB的一部分，所以推断必有MG=MD+GB，为此，构造全等三角形的第二种证法油然而生.

图2

另解：连结AM、AG，作 AH⊥MG于H，如图2所示.

由题意可知：∠AMG=∠MAB=∠AMD.

故△CMG的周长为4a，与点M在CD边上的位置无关.

有学生感叹道：“早知如此（指第二种解法）又何必当初（指第一种解法）.”马上就出现了反驳的声音：“没有当初，何来如此!”我就势总结道：“解题后的反思可以帮助我们更好地认识题目的本质.”

又例如我在数学竞赛辅导时讲解的一道试题：

如图3所示，已知3个边长相等的正方形相邻并排.求：∠EBF+∠EBG.

图3

我按照数学变换的思想给出了如下的解题过程.

图4

解：如图4所示，将已知3个边长相等的相邻的正方形以BE为轴进行翻折，连结BT、FT，则有∠EBG=∠EBT.

∴∠EBF+∠EBG=∠EBF+∠EBT=∠FBT.

设 AB=a，于是有：BT2=a2+（2a）2=5a2；

显然有：BT2+ET2=BF2；BT=FT.

∴△BTF是等腰直角三角形.

∴∠FBT=45°.

故∠EBF+∠EBG=45°.

解题后的反思：有学生恍然大悟：“正好等于45°.”我乘机卖关子：“应该是真好，又是45°，此时此刻，面对这样的结果，你有何感想呢？”在一阵激烈的讨论之后，终于有学生提出了想法：由于∠EBF+∠EBG=45°，连结BH（如图5所示）后，必有∠ARB=45°，又∠EBG=∠HBG、∠HBG+∠HGB=∠EBG+∠HBG=45°，故只需证出∠HBG=∠EBF=∠HFB即可，这可由△HBG≌△HFB解决.于是第二种解法浮现于眼前：

图5

另解：如图5所示，连结BH.

教育心理学认为：“思维是从提出问题开始的.”因此，当一个问题得到解决并为学生充分理解后，学生获得的信息没有什么不确定性，这称为饱和信息.此时，教师应抓住学生的思维转折点，将原问题进行检验、拓宽或引申，从熟悉的问题中延伸出新问题，从而激活学生的思维、培养良好的数学素养.