非紧Riemann流形上一类Kazdan-Warner 型方程光滑解的存在唯一性*

邓义华

(衡阳师范学院数学与计算科学系，湖南 衡阳 421008)

在文献[1]中，Kazdan 和Warner 在紧致二维流形上讨论了如下方程

Δw+(hev)ew-c=0

(1)

解的存在性问题。随后，Kazdan等[2]，Burago[3]，Hulin等[4]，Rukmini[5]继续在一些非紧Riemann曲面上讨论了方程(1)。最近，汪悦等[6]在一类非紧高维Riemann流形上研究了方程

Δf+hef-g=0

(2)

并在一定的条件下得到了方程(2)光滑解的存在唯一性。受以上文献的启发，本文主要在一类非紧高维Riemann流形M上讨论如下更一般的Kazdan-Warner 型方程

(3)

其中，λ1,λ2>1为常数，α,β为非零常数，h1,h2,g∈C∞(M)。

方程(3)与Kähler流形上全纯向量丛中Hermitian-Yang-Mills-Higgs度量的存在性有密切的联系[6]。紧致Kähler流形上全纯向量丛中Hermitian-Yang-Mills-Higgs度量的存在性定理首先由Bradlow[7]得到。最近，汪悦等[6]得到了非紧Kähler流形上全纯向量丛中Hermitian-Yang-Mills-Higgs度量的一个存在性定理。设M是非紧Riemann流形，并且满足以下假设：

(A1)M具有有限体积；

(A2)在M上存在非负的穷竭函数φ满足Δφ有界；

1 一些引理

为了证明定理1，我们需要建立一些引理。在下文中，始终假设

Ma={x∈M|φ(x)≤a}

其中φ是假设(A2)中的穷竭函数，且对于序列a→∞边界∂Ma都是光滑的。考虑Ma上带有Neumann边界条件的热流方程

(4)

这是一个抛物型方程，从而可以得到短时间解的存在性。设f是方程(4)的短时间解，解的存在区间为0≤t

引理1 当αh1,βh2≤0时，带有Neumann边界条件(或Dirichlet边界条件)的热流方程(4)具有长时间解。

证明直接计算可得

由于αh1,βh2≤0,所以

(5)

(6)

(7)

引理2[9]设φ是假设(A2)中的函数，并且Δφ≤C0。 如果u是定义在Ma×[0,T]的函数满足

设fa(·,t)∈C∞(Ma×[0,+∞))是热流方程(4)的长时间解。下面我们证明M上热流方程

(8)

(9)

(10)

由引理2，可知对于1≤a0≤a1≤a2，在Ma0×[0,T]上有

(11)

所以对于固定的紧集Z×[0,T]，当a→∞时，fa是一Cauchy 序列。类似于文献[6]中命题2.3的讨论，我们有

引理3 设M是满足假设(A1)-(A3)的非紧Riemann流形。若supM(h1|+h2|+g|)<∞和αh1,βh2≤0成立，则热流方程(8)有唯一的长时间解f，且f满足

(12)

类似于文献[6]，下面对热流方程(8)的解f(·,t)作一致的C0先验估计。由于λ1,λ2>1并且αh1,βh2≤0，所以

于是，

又因为f|≤ln(ef+e-f)≤ln2ef|=f|+ln2，所以根据假设(A3)，我们得到

(13)

引理4 设f是方程(8)的解，则

(14)

证明由文献[6]可知

(15)

f(·,t)-f(·,t0)|≤C5(t-t0)

(16)

(17)

对任意的t0∈[0,+∞)，由(15)式、(16)式与(17)式得到

(18)

于是，引理4证明完毕。

(19)

根据(19)式及αh1,βh2≤0得

于是

假设C*>0。 则对任意0<ε

于是对任意x>ε和τ>τ0，有

(20)

另一方面，对x≤ε，(20)式显然成立。于是对充分大的i，有

(21)

从而由(19)和(21)得

(22)

2 定理1的证明

由引理5和(13)式可知存在一正常数C7>0，使得对所有的t，有

于是，由椭圆正则性理论可知f∞是方程(3)的光滑解。定理1证明完毕。

参考文献：

[1] KAZDAN J L, WARNER F W. Curvature functions for compact 2-manifolds[J]. Ann of Math, 1974, 99: 14-47.

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