复合LINEX对称损失下Poisson分布参数的Bayes估计与应用

韦程东，韦 师，苏 韩

(广西师范学院 数学科学学院，南宁 530023)

0 引言

Poisson分布是概率论中一种重要离散分布，在实际生活中有着广泛的应用，例如，某地区在一天内邮递遗失的信件数、某医院在一天内急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数、在一个时间间隔内某种放射物质发出的、经过计算器的α粒子数等都服从Poisson分布。对Poisson分布的研究不仅在某些方面可以提高工作效率,还可以提高经济效益,因此对Poisson分布的研究具有重要的理论价值和实际意义。

国内外对Poisson分布已有一定的研究,王德辉等[1]研究了熵损失下Poisson分布参数倒数的估计，俆宝等在文献[2]中研究了Poisson分布参数倒数在一种对称损失下的Bayes估计，荆雷[3]在其硕士学位论文中,在Q-对称熵损失函数下研究了Poisson分布的参数估计,韦莹莹等[4]讨论了Q-对称熵损失下Poisson分布参数倒数的估计问题。而张睿[5]已研究了复合LINEX对称损失函数下正态分布及指数分布的参数估计并证明其可容许性。本文主要在复合LINEX对称损失函数下，研究Poisson分布参数λ的Bayes估计。并举出具体的例子说明其应用性，最后通过数值分析来验证该Bayes估计的合理性。

设随机变量X服从参数λ的Poisson分布，则其分布律为

当随机变量 X 服从(1)式的 Poisson分布时,设(X1，X2，…，Xn)为来自总体X 的容量n的随机i:i:d样本,(x1，x2，…，xn)为其观测值，则其联合密度函数为

在文献[5]中张睿提出的复合LINEX对称损失函数，其表达形式如下

很显然该损失函数的函数不仅是非负的，且该损失函数是 严 格 凸 函 数 。 事 实 上 由 于 L (θ，δ)=e-a(θ-δ)+ea(θ-δ)-2≥22=0，所以损失函数的函数是非负的。又在式(3)中对 δ 求偏导得 L'(θ，δ)=ae-a(θ-δ)-aea(θ-δ)。 任取 0＜δ1＜δ2,那么就有:

即 L'(θ，δ1)-L'(θ,δ2)＜0,所以对称损失函数 L(θ,δ)关于 δ 是严格凸函数。

1 参数λ的Bayes估计

在这一节，我们讨论参数λ的Bayes估计。记X=(X1;X2;…，Xn),对任意先验分布,λ 的Bayes估计为 δ(X)n(E(eaλ|X)/E(e-aλ|X)),这可由下面的定理得到。

定理1 在复合LINEX对称损失函数(3)下，对任何先验分布 π(λ)，λ 的 Bayes估计为：

证明 设δ(x)为λ的任一估计，在损失函数(3)下，由定义得 δ(x)的 Bayes风险为

上式左端 E[L(λ，δ)]表示的是关于 λ 与样本 X1，X2，…,Xn的联合分布取期望，所以要求λ的Bayes解，只要求极小化E{[e-a(λ-δ)+ea(λ-δ)-2]|X}即可。 令

再对其关于δ求导并令其等于0即：

所以函数g(δ)是关于δ的严格凸函数。从而知δ(x)是函数g(δ)唯一的极小值点，所以 λ 的 Bayes解为 δ(x)n(E(eaλ|X)/E(e-aλ|X))。

选取 Γ(α，β)为 Poisson分布参数 λ的先验分布，则先验分布的密度函数为

由Bayes公式得参数λ的后验密度为

则Poisson分布参数λ的Bayes估计，可由如下定理得出。

定理2 在复合LINEX对称损失函数(3)下，对于先验分布为 Γ(α，λ)，Poisson 分布参数 λ 的 Bayes估计为：

下面证明该Bayes估计的兼容性，先引进一个引理：

引理1[6]给定一个统计决策问题,δ(x)是一个决策函数。若δ(x)是某个先验分布π(λ)下的唯一的Bayes决策函数，则δ(x)必是次统计决策问题的容许决策函数。

由于复合LINEX对称损失函数是严格的凸函数，所以在此损失函数下的Bayes估计也是唯一的，则由引理1可得该Bayes估计是可容许的。

2 举例

例1 已知某细胞单位所含白血球的个数服从Poisson分布，对1008个细胞单位进行观察，数据见表1。

表1 白血球分布情况

其中k表示细胞单位含白血球的个数,nk表示1008个观测单位中，含k个白血球的细胞单位个数。

根据这些数据用第1节所给出的参数λ的Bayes估计，估计出白血球所服从的Poisson分布的参数λ。取a=2,计算结果见表2。

例2某实验室在2608个相等时间单位内观察了一种放射性物质所释放出来的α-粒子的个数，结果如下表所示：其中频数nk表示在2608个时间单位中释放出k个粒子的时间单位的个数。

表2 参数λ的Bayes估计

表3 白血球分布情况

表4 参数λ的Bayes估计

根据这些数据用第1节所给出的参数λ的Bayes估计，估计出这种放射性物质所释放出来的α-粒子所服从的Poisson分布的参数λ。取a=2,计算结果见表4。

从例1(单位细胞中白血球的分布)和例2(放射性物质释放的α-粒子的分布)我们可以看到Poisson分布参数的Bayes估计在实际生活中的应用，此外Poisson分布参数的Bayes估计还可以应用到邮递遗失的信件数、医院急诊病人数、交通事故的次数等实际生活中。

通过例1中的Table2中参数λ的Bayes估计的估计值可以显示，参数λ的Bayes估计很稳定，横向极差最大只有0.005,而纵向极差最大也仅有0.009。所以从统计决策稳健性的角度去考虑，该估计值很稳健。

通过例2中的Table4中参数λ的Bayes估计的估计值可以显示，参数λ的Bayes估计也很稳定，横向极差最大只有0.001，而纵向极差最大也仅有0.004。所以从统计决策稳健性的角度去考虑，该估计值复合统计决策中估计的稳健性。

根据以上的数值分析我们可以验证本文所研究的Poisson分布的Bayes估计是合理的。

[1]王德辉,赖民,宋立新.熵损失下Poisson分布参数倒数的估计[J].吉林大学自然科学学报,2000,(4).

[2]徐宝,于春艳,孙宪军.一种对称损失下Poisson分布参数倒数的Bayes估计[J].吉林师范大学学报:自然科学版,2006,(3).

[3]邢蕾.Q―对称熵损失函数下的Poisson分布的参数的估计[D].长春:吉林大学硕士学位论文,2006.

[4]韦莹莹,韦程东,薛婷婷.Q-对称熵损失下Poisson分布参数倒数的估计[J].广西师范学院学报:自然科学版,2007,24(2).

[5]张睿.复合LINEX损失下的参数估计[D],大连:大连理工大学硕士学位论文,2007.

[6]范金城，吴可法.统计推断导引[M].北京：科学出版社，2001.