管状橡胶支座径向刚度的非线性有限元分析

高剑虹 陈佳彬

1 概述

管状橡胶支座在工程中有广泛的应用，如汽车、火车、桥梁以及工厂机器设备等等，它由橡胶与内外两层曲率相同的同心钢管粘合而成。管状橡胶支座通常受到轴向、扭转、径向和弯曲载荷的影响。由于受到内外两层钢管的约束，管状橡胶支座受载时可以提供较大的刚度，而刚度与支座的形状、尺寸(包括支座长度、内外直径)、变形以及工作环境等因素有关。由于橡胶的非线性超弹性变形特性，小变形的分析并不能满足实际的需求，因此对支座进行非线性分析是实际橡胶应用的需求。本文主要针对橡胶的大变形特点，利用ANSYS有限元分析软件，对不同形状尺寸的支座受径向载荷的情况(如图1所示，a，b分别为内外钢管的半径，l为支座的长度，F为径向载荷)进行有限元刚度分析，并回归出支座的刚度方程。

2 径向刚度分析的理论基础

如图1所示，管状橡胶支座受径向载荷作用时，其刚度的计算见下式:

其中，K为径向刚度;F为径向载荷;y为径向位移。径向应变ε计算如下:

在大变形的情况下，橡胶的本构关系通常采用Mooney模型[3]，其应变能为:

其中，I1和 I2分别为第一、第二应变不变量;C1和 C2均为橡胶的材料常数，可取 C1=7E/48，C2=E/48[4]，E为橡胶材料的初始弹性模量。典型的橡胶弹性模量可取2 M Pa～10 MPa[5]。

3 有限元分析及结果讨论

3.1 有限元分析

由于结构的轴对称特性，故有限元采用轴对称模型，在纵向上取一截面进行分析。如图2所示，采用轴对称182号四节点单元划分橡胶，对橡胶外层的节点施加径向、环向、轴向三向约束来模拟橡胶外层粘结的钢，在支座内径为a的面上施加径向位移来反求径向载荷。对于橡胶材料取 E=3 MPa，即C1=0.437 5 MPa，C2=0.062 5 MPa。

外径b=15 mm，内径 a=10 mm，长度 l=10 mm的模型在10%的变形下网格疏密与结果的关系如表1所示。从表1中可以看出，网格的疏密对径向刚度值有一定的影响，随着网格的逐渐变密，刚度的差值越来越小，说明结果趋于稳定。考虑到精度及时间要求，对于外径 b=15 mm，内径a=10 mm，长度l=10 mm的模型选用网格数为横向16，纵向32的网格，变形结果见图3。

表1 网格密度对计算结果影响

3.2 有限元结果分析

3.2.1 刚度与载荷的关系

橡胶初始弹性模量 E=3 MPa，内径 a=10 mm，外径 b=15 mm，长度 l分别为10 mm，20 mm，30 mm，40 mm的管状橡胶支座在径向载荷作用下刚度随应变的关系如图4所示。从图4中可以看出，管状橡胶支座的径向刚度随着径向应变的增大而增大，呈非线性变化。应变较小时，刚度的变化较小，随着应变的增加，刚度增加的幅度也增大。有限元结果显示，其他尺寸的支座径向刚度随应变的变化趋势类似图4。分析原因是由于橡胶具有大变形的特征，橡胶层受径向载荷的挤压使得橡胶的弹性模量增大，即产生相同的应变所需要的载荷大小增大，从而使支座的刚度增大。

3.2.2 刚度与支座长度的关系

理论表示小变形下管状橡胶支座径向刚度随支座长度呈线性变化[2]。有限元结果见图 5，图5中表示了外径a=10 mm，内径b=15 mm的支座在各种应变下刚度随支座长度的变化曲线。图5中表示，应变(5%～30%)一定时，支座的径向刚度随支座长度的增大而增大，且接近于线性变化。

3.2.3 刚度与支座内外径的关系

内径a一定时，把支座的径向刚度与内外径的关系描述成与内外径比 x即a/b关系，图6为不同长度的支座在应变30%情况下径向刚度随支座内外径变化曲线。从图6中可以看出，随着x的增大，刚度也逐渐增大，并且刚度随支座内外径呈非线性变化。分析原因是因为内外径比小时，即b大时，受相同径向载荷，橡胶层受到的挤压变化小，弹性模量的变化也小，因此在相同的应变，相同的内径情况下，b大的支座刚度小。

3.2.4 管状橡胶支座径向刚度的经验计算式

根据以上数据，利用Excel中的多元回归工具可得到橡胶初始弹性模量 E=3 MPa，内径 a=10 mm支座径向刚度的经验计算公式，见式(4)，模型能在误差小于6.4%范围内再现有限元结果且在30%的变形内都可适用。为了比较，按式(4)计算了长度分别为15 mm和25 mm尺寸下的径向刚度，并通过与有限元值比较得出，近似计算的结果与有限元结果吻合很好。另外，对于长度为15 mm和25 mm的支座刚度，可分别通过式(5)和式(6)得到近似计算结果，其值与有限元结果比较，误差小于1.8%。

4 结语

本文通过ANSYS有限元分析软件，对管状橡胶支座的径向刚度进行了非线性有限元分析，得知支座的径向刚度随应变增大而增大，应变较大时刚度变化较大，径向刚度随支座长度和内外径比呈非线性关系，且随着它们的增加而增大。同时，回归出的径向刚度经验公式可以在误差小于1.8%的范围内再现有限元结果。

[1] 詹 特.橡胶工程——如何设计橡胶配件[M].北京:化学工业出版社，2003.

[2] Busfield J J C，Davies C K L.Stiffness of simple bonded elastomer bushes[J].Plastics，Rubber and Composites，2001，30(5):20-21.

[3] Gent A N，Park B.Compression of rubber layers bonded between two parallel rigid cylinders or between two rigid spheres[J].Rubber Chem.Technol.，1986，59(1):77-83.

[4] O.H.Yeoh.Relation between crack surface displacements and strain energy release rate in thin rubber sheets[J].Mechanics of Materials，2002(4):315.

[5] A.N.Gent，Y.C.Hwang.Elastic behavior of rubber layer bonded between two rigid spheres[J].Rubber Chem.Technol，1988(61):630.