变异函数S-粗集

秦登鹏

（黄淮学院数学科学系，河南 驻马店 463000）

1 引言

文献[1]提出 S-粗集（singular rough sets），给出了它的两类结构：单向 S-粗集（one direction singular rough sets），双向 S-粗集（two direction singular rough sets）[2～7]。 对 S-粗集的特性、应用给出了进一步的讨论。S-粗集推广了1982年波兰数学家Z.Pawlak提出的粗集。在Z.Pawlak粗集中，集合X奂U是静态的，在S-粗集中，集合X奂U是动态的（单向动态X=X°或双向动态X=＾）。由此推测，在更一般的情况下，函数S-粗集是否也具有变异函数S-粗集？

S-粗集是以元素作为研究对象的，变异S-粗集则是以属性为研究对象的，两者是等价的[6]。函数S-粗集是以函数属性作为研究对象的，以同样的思维方式思考，如果以函数值作为研究对象，这就是变异函数S-粗集。鉴于两者的等价性，通过研究函数值的相关性质和规律，可以从侧面来反映和研究函数属性的相关性质和规律。

为了使本文的符号简化，又不致引起误解，这里约定：值域类[u（x）]记作[u]，值域 u（x），v（x）记作 u，v；值域论域 D（x）记作 D，值域集 Q（x）={u（x）1，u（x）2，…，u（x）m}D（x），记作 Q={u1，u2，…，um}D。

2 单向变异函数S-粗集

定义1.1 设D是函数值域，Q={u1，u2，…，um}D.是值域集，如果存在变换 f∈F，使得 v∈D，v埸Q，v在 f∈F 的作用下变成 f（v）=u∈Q，称 f∈F 是 D 上的函数值迁移，F={f1，f2，…fm}称作 D 上的函数值迁移族；或者埚v∈D，v埸Q圯f（v）=u∈Q。（1.1）

定义1.2 给定Q∈D，称Q°是Q的单向变异 S-集合，如果 Q°=Q∪｛v|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Q｝.（1.2）

Qf称作 Q 的 f-扩张，而且 Qf=｛u|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Q｝.（1.3）

定义 1.3 称（R，F）。 （Q°）是 Q°∈D 的下近似，如果（R，F）。 （Q°）=∪[u]=｛u|u∈D，[u]哿Q｝（1.4）称（R，F）°（Q）°是 Q°∈D 的上近似，如果（R，F）。 （Q）°=∪[u]={u|u∈D，[u]∩Q°≠φ}.（1.5）

定义 1.4 由（R，F）。 （Q°），（R，F）°（Q°）构成的集合对，称作 Q∈D 的单向变异函数 S-粗集，而且（（R，F）。 （Q°），（R，F）°（Q）°），（1.6）称 Bnr（Q°）是 Q°∈D 的边界，而且 Bnr（Q°）=（R，F）。 （Q°）-（R，F）°（Q°）.（1.7）

定义 1.5 称 As（Q°） 是单向变异函数 S-粗集（（R，F）。（Q°），（R，F）°（Q°））生成的副集合，如果 As（Q°）={u|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Q}（1.8）

3 双向变异函数S-粗集

定义2.1 设D是函数值论域，Q={u1，u2，…un}∈D是值域集，如果存在变换 f∈F，使得 v∈D，v埸Q，v在 f∈F 的作用下变成 f（v）=u∈Q；如果存在变换 f∈F，使得 uj∈Q，uj在 f∈F 的作用下变成 f（uj）=vj埸Q；f，称作 D 上的函数值迁移，F={f1，f2，…，fm}，F={f1，f2，…，fn}称作 D 上的函数值迁移族。

定义2.2 给定Q∈D，称 Q*是Q的双向S-集合，如果Q*=Q′∪{v|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Q）（2.3）Q′=Q-{u|u∈Q，f（u）=v埸Q}，（2.4）Qf称作 Q∈D 的 f-萎缩， 而且Qf={u|u∈Q，f （u）=v埸Q}.（2.5）

定义 2.3 称（R，F）。 （Q*）是 Q*D 的下近似，而且（R，F）。（Q*）=∪[u]={u|u∈D，[u]哿Q*}（2.6）称（R，F）°（Q*）是 Q*D 的上近似，而且（R，F）。（Q*）=∪[u]={u|u∈D，[u]∩Q*≠φ}.（2.7）这里：F=F∪，F≠φ，F≠φ.

定义 2.4 由（R，F）。 （Q*），（R，F）°（Q*）构成的集合对，称作 Q奂D 的双向变异函数 S-粗集，而且（（R，F）。 （Q*），（R，F）°（Q*））.（2.8）称 Bnr（Q*）是 Q*D 的边界，而且 Bnr（Q*）=（R，F）。 （Q*）-（R，F）°（Q*）.（2.9）

定义 2.5 称 As（Q*）是双向变异函数 S-粗集（（R，F）。 °（Q*），（R，F）°（Q*））生成的副集，如果 As（Q*）={u|v∈D，v埸Q，f（v）=u∈Qandu∈Q，（u）=v埸Q}.（2.10）

由1和2节的概念，容易得到下述命题1

命题1 双向变异函数S-粗集是单向变异函数S-粗集的一般形式，单向变异函数S-粗集是双向变异函数S-粗集的特例。

命题1是明显的事实，证明略。

4 函数值迁移与它的特征

设[u（x）]是 D 上的 α-函数值等价类，[u（x）]={u（x）1，u（x）2，…，u（x）m}，坌k，u（x）k∈[u（x）]的离散形式是 u（x）k={u（x）k，1，u（x）k，2，…，u（x）k，n}.（3.1）设[a，b]是[u（x）]的值域，[c，d]是[u（x）]的定义域，a，b，c，d∈R+，ab，cd；α 是函数值集.显然，若 u（x）j∈[u（x）]，则 x∈[a，b]，u（x）j∈[c，d]；若 u（x）p埸[u（x）]，则 x埸[a，b]，u（x）p埸[c，d].如果存在变换 f∈F，对于 v（x）埸[u（x）]，使得 f（v（x））的 x∈[a，b]，f（v（x））∈[c，d]变换 f∈F 是函数值迁移，而且埚v（x）∈D，v（x）埸[u（x）]]f圯（v（x））=u（x）∈[u（x）].（3.2）显然，f∈F 构造是简单的，具体的f∈F，在利用变异函数S-粗集分析应用问题中给出。

5 结论

文献[1]提出 S-粗集（singularroughsets），[2～13]对 S-粗集的特性与应用给出了讨论.S-粗集（单向S-粗集，双向S-粗集）比1982年波兰数学家Z.Pawlak提出的粗集具有理论与应用的一般性;这是因为S-粗集不仅能解决系统中静态粗分析问题，也能解决系统中动态粗分析问题.将Z.Pawlak粗集向前推了一步.由史开泉教授提出的函数S-粗集又将S-粗集向前退了一步，本文以函数值作为研究对象，分析了变异函数S-粗集，这对于通过函数值的性质和规律来研究和挖掘函数属性的性质和规律，进而应用于风险投资系统，保险亏盈预测，风险投资分析，金融信贷的预警估计将有着重要的意义。

[1]史开泉.函数 S-粗集[J].山东大学学报（理学版），2005（1）：1-10.

[2]Z Pawlak.Rough Sets[J].International Journal of International Sciences，1982，（11）：341-356.

[3]史开泉，崔玉泉.S-粗集和它的一般结构[J].山东大学学报（理学版），2002，（12）.

[3]史开泉.函数 S-粗集[J].山东大学学报（理学版），2005，（1）：1-10.

[4]Zhang Ping，Shi Kai-quan，Lu Chang-jing.Function S-rough sets and rough law mining-separation [J].Systems Engineering and Electronics，2005，27（11）：1899-1902.

[5]Shi Kai-quan，Chang Ting-cheng.One direction S-rough sets[J].International Journal of Fuzzy Mathematics，2005，（2）：319-334.

[6]史开泉，崔玉泉.变S-粗集与它的变异结构[J].山东大学学报（理学版），2004，39（5）：7-13.

[7]史开泉，刘月兰.S-粗集与它的（F，)-遗传（Ⅲ）[J].山东大学学报（工学版），2004，（3）：109-114.