一种实用的拓扑简化方法

陈丽娜

(河南商丘师范学院计算机科学系,河南商丘 476000)

0 前言

数据可视化在科学计算中的重要性是显而易见的,然而,随着大规模数据集的出现,现在流体力学对仿真的要求更加严格,这严重的挑战了现在的可视化技术[1],而且这个问题随着复杂问题的出现而更加严重。流场的一个重要特性是它的拓扑结构,由Helman和Hesselink于1987年提出的流场拓扑可视化法是一种从全局了解矢量场结构的新技术[2],它是一种全局图标的构造和映射方法。拓扑可视化法将流场中精确的定量信息用一种简单的图表描绘出来。拓扑可视化的技巧不仅已经被应用到简单流场中,而且已经被应用到复杂的流场比如涡流场。由此就产生了一个问题,因为涡流场是复杂流场,它有许多干扰,所以有很多临界点,完全的拓扑可视化将会使图像成簇,很模糊,因而很难正确解释流场的结构。

多级拓扑可视化方法在国内外文献中被多次提到过[3-4],该方法是选择部分临界点代替全部临界点来显示场的结构,而这些选择的临界点必须能够代表流场的结构。通过显示这些被选择的临界点,一个简单的能够保持流场结构的拓扑描绘图被给出,达到对拓扑图像进行简化的目的。这些方法已经被应用到诸如风场等一些场中,比如气象污染学家关心雾的变化和风场的关系,为了清晰显示流的拓扑关系,这就要求显示清晰的风场拓扑图像,用来描述场的全局结构。传统的拓扑简化方法都是先对采样数据进行过滤,然后再对剩余的数据进行可视化,这样的结果是导致了临界点的位置和类型都有可能改变,这不是我们所希望看到的。本文基于统计学的原理,提出了一种称为“对距离过滤”的拓扑简化方法,并将其应用到海洋流场,同时对不同级别的拓扑可视化结果进行了比较。该方法不仅可以快速的可视化流场的主要特征而不显得混乱,更有利于保持复杂流场的全局信息。

1 矢量场拓扑可视化介绍

矢量场拓扑可视化方法是由Helman and Hesselink提出,它是建立在临界点理论基础之上。一个矢量场的拓扑由临界点和连接临界点的积分曲线或曲面组成,它使用流线连接临界点,把流场分为不同的区域。临界点是流场中那些速度为零的点,临界点附近矢量场的特性由临界点矢量对其位置矢量的偏导数矩阵Jacobian(雅可比矩阵)决定[5-6],即:

这里下标指的是偏导,临界点是根据复特征值来分类,假定临界点是双曲的,也就是说,特征值的实部非零,那么可以将临界点分为5类(中心点是非双曲型的临界点,这里不再考虑):

*鞍点(S):特征值的虚部为0,且实部互为相反数,即:I1=I2=0;R1R2＜0;

*排斥结点(RN):特征值的虚部为0,且实部都是正的,即:I1=I2=0;R1＞0;R2＞0;

*吸引结点(AN):特征值的虚部为0,且实部都是负的,即:I1=I2=0;R1＜0;R2＜0;

*排斥焦点(RF):特征值是共额复数,且实部都是正的,即:I1=I2≠0;R1＞0;R2＞0;

*吸引焦点(AF):特征值是共额复数,且实部都是负的,即:I1=I2≠0;R1＜0;R2＜0。

二维临界点的分类图如图1所示。

2 对距离过滤法

传统的拓扑可视化技巧在应用到一般流场时,可以快速显示场的结构,在侧重考虑场的特殊结构时显示出了较大的优越性。而对于复杂的流场,可视化的结果图像可能是成簇、混乱,难以正确解释的。涡流场就是流在空间变化比较大的场,这种场如果用拓扑信息来表示的话,意味着在小的空间范围内将会有很多临界点,以致于临界点太多而成簇,反而显示不出场的结构特性。

图1 二维临界点分类图

但是,在研究时发现,全局流的结构可以用全部临界点的一个子集来描述,这就是意味着:可以对流场抽取多级拓扑来进行拓扑简化。在操作的时候,用来显示多级拓扑结构的临界点,应该局限于能描述一定比例流模式的那些点,那些决定小空间范围流模式的临界点应该被忽略,这样就减少了临界点的数量,同时又保证了流场主要的拓扑结构。

2.1 传统的拓扑简化方法

为了实现多级拓扑来进行拓扑简化,传统的方法是过滤原始数据产生衍生数据,然后再对这些数据进行可视化。也就是说,过滤掉不合条件的数据(比如说,一个“低通”的过滤可以用来限制一些高频的模式,也就是那些小范围空间的流的模式),然后对剩下的数据再进行可视化,抽取临界点,那些被小范围的干扰所引起的流已经被过滤掉了。

尽管该方法概念上很容易理解,在某些情况下会取得我们所希望的结果。但是它有很多不足,由于对原始数据进行了过滤,所以有时候尽管保持了流的主要的特征,但原始数据的临界点和简化后抽取的临界点没有必然的关系,临界点的位置和类型都有可能发生改变,这并不是我们所希望看到的。

2.2 “对距离过滤”的原理

本文提出了一种称为“对距离过滤”的方法。该方法与传统方法不同,它是先对原始数据进行可视化产生临界点,然后再对临界点进行采集,过滤掉可以忽略的临界点,剩下的就是能保持流场结构的临界点(这里只对临界点操作,不考虑流场周围的附加信息)。该方法的原理是基于拓扑学的知识。拓扑学认为:流的小范围的干扰将产生一对临界点,鞍点和非鞍点[7-9]。比如说,一个二维的涡核的拓扑结构包含一个焦点和一个鞍点。这对临界点的距离说明了临界点的大小,从流场中移走这个临界点对,不会改变剩下流场的结构,也就是说,包含一个鞍点和其他类型的临界点的这样的临界点对,可以从流场中移走,这称为“对距离过滤”。

2.3 “对距离过滤”的实现

在具体实现的时候,“对距离过滤”可以分以下步骤:

(1)首先对临界点进行定位和分类。

(2)然后做所有鞍点和其他非鞍点类型的临界点之间的距离矩阵。

(3)在位置上距离最小的临界点对可以从流场中移走。这样迭代实现,直到剩下的临界点对的距离大于所设定的初始值。

这里初始值的设置很重要,它取决于初始数据的大小。

3 “对距离过滤”法在海洋流场中的应用

对一特定海洋流场,该区域大约有 5 000个采样数据点(L=5 000),使用传统的可视化技巧[9]所得到的图像如图2所示。使用该方法总共有 26个临界点,其中包括 13个鞍点和 13非鞍点。

图2 一特定海洋流场的拓扑结构图

而使用“对距离过滤”的方法,可以得到在不同的初始值的情况下的拓扑图像。则简化后的图像如图3、4、5、6所示。

这里实现的时候,仍然和传统的拓扑分析法的步骤相同,即:首先使用二分法找出临界点的位置,然后根据可比矩阵特征值的正负确定临界点的类型,最后使用四阶龙格-库塔法绘制出积分曲线。只不过在确定临界点并分类之后,需要再做所有鞍点和其他非鞍点类型的临界点之间的距离矩阵,将距离小于某个特定初始值的那些临界点对从流场中移走,剩下的那些临界点对就是可以代表流场结构的临界点了。

由于采用的数据是离散的采样数据进行建模之后得到的网格数据,所以这里初始值的选择和网格大小有关。L*0.00 001也就是将鞍点和其他临界点对的距离小于半个网格的临界点对从图像上移走;L*0.00 002是将鞍点和其他临界点对的距离小于一个网格的临界点对从图像上移走;依次类推,这里简化到那种程度主要是依赖于经验或者实际情况的需要。

从以上图像可以看到,图3、4、5、6中分别有 1个、3个、4个和 7个鞍点被过滤掉了。这里图像上为了直观,仍然保留了鞍点及其临界点,但是拓扑图像被移去了。这里简化到图6即可,可以保证小范围的流结构被过滤掉。

从以上可以看到,“对距离过滤”法可以简化流场的拓扑结构,简化之后的流场仍能够代表原来流场的主要结构,所以仍然有实际意义。传统的拓扑可视化方法,会造成的视觉的混乱,而使用该方法,混乱情况则可以被避免。另外,该方法还可以并行进行,用户可以交互,以此来观察时变场的特征[10-11],并且可以对某些区域进行放大以看到更详细的信息,或者缩小以看到全局的信息。如今,随着数据量的大量增加,有时候更关心的是全局的信息,因此,该简化方法更是简单实用的可视化技巧。

4 结论

论文提出了一种简单实用的拓扑简化技巧,它给用户提供了一种清晰的可以保持原来流全局特征的可视化机制。并将该方法应用于特定的海洋流场,同时,对不同级别的拓扑可视化结果进行了比较。

[1] 王国强,陈家新.虚拟制造可视化环境技术研究现状及发展趋势[J].河南科技大学学报:自然科学版,2004,25 (4):20-24.

[2]Helman JL,Hesselink L.Visualizing Vector Field Topology in Fluid Flows[J].IEEEComputer Graphics and App lications, 1991,11(3):36-46.

[3] De Leeuw W,Van Liere R.Multi-level Topology for Flow Visualization[J].Computers＆Graphics,2000,24(3):325-331.

[4] 吴克勤,杨冠杰,尚海霞.与物理特征相关的平面向量场的拓扑简化及压缩[J].计算机辅助设计与图形学学报, 2006,(18):656-660.

[5] Tricoche X,Scheuermann G,Hagen H.A Topology Simplification Method for 2D Vector Fields[J].IEEE Visualization'00 Proceedings,IEEE Computer Society Press,Los Alamitos,2000(5):359-366.

[6] 张 文,李晓梅.基于流线纹理合成的2D矢量场可视化[J].中国图像图形学报,2001,6(3):280-284.

[7] 刘占平,汪国平,董士海.一种新的VolumeLIC可视化方法[J].中国图像图形学报,2001,6(5):470-474.

[8] 陈丽娜,杨冠杰.快速检测流场中涡核区域的角度函数法[J].工程图学学报,2008(1):146-149.

[9] 陈丽娜.用拓扑结构分析法实现平面向量场可视化[J].西南民族大学学报:自然科学版,2009(1):183-186.

[10] Reinders F.Feature-Based Visualization of Time-Dependent Data[D].PhD Thesis:Delft University of Technology,The Netherlands,2001.

[11] Reinders F,Post F H,Spoelder H JW.Visualization of time-dependent Data Using Feature Tracking and Event Detection [J].The Visual Computer,2001(5):55-71.