基于G－S正交化方法的宽零陷方向图综合❋

王剑辉，黄龙杨，潘卫军

（中国民航飞行学院空中交通管理学院，四川广汉618307）

基于G－S正交化方法的宽零陷方向图综合❋

王剑辉，黄龙杨，潘卫军

（中国民航飞行学院空中交通管理学院，四川广汉618307）

在线性阵列天线方向图无约束Gram-Schmidt（G-S）正交化综合方法基础上加入零点导数约束条件实现宽零陷波束图综合。此方法保持了无约束正交化方法中因采用对阵列导向矢量正交化处理而使得计算简便的优点，适合均匀或非均匀直线阵的综合。实验结果表明，此零点约束正交方法能很好实现在零阶、一阶和二阶导数约束条件下线性阵列波束图的综合。

线性阵列；方向图综合；宽零陷；Gram-Schmidt正交化；导数约束

1 引言

利用阵列天线产生定向波束技术已经被广泛应用于雷达、声纳、通信以及卫星导航等领域［1］，可充分利用空间维度来提高系统性能。在民用航空管理自动化智能系统中卫星定位导航模块的构建过程中，由于数据链信号内容信息复杂且具有多向性，在原有的卫星接收机中，接收到的卫星信号非常微弱，很容易受到其它信号的干扰，所以将方向图主瓣对准期望信号方向，而将零陷对准干扰信号方向，从而大幅提高信噪比就显得尤为重要。然而在一般情况下，优化算法得到的方向图干扰零陷非常窄，且非常陡峭，这就使得如果对干扰信号波达方向的估计存在偏差，则系统性能会大大降低。同时，在实际应用中，由于受到算法本身复杂程度以及实现硬件条件的限制，使得方向图综合的实时性也受到限制。另外，由于航空器飞行速度较快，对于机载卫星导航接收设备而言，干扰信号移动较快，很容易出现数据失配。

解决以上问题的一种有效方法就是加宽干扰零陷，展宽方向图的零陷宽度，使得在一定的角度范围内都能对干扰实现很好的抑制，从而提高系统抗干扰鲁棒性。协方差矩阵锥化［2－4］和干扰方向约束［5－7］是两种研究较多的方法，这两种方法本质上是等效的［8］。文献［9］和［10］分别推导出干扰正态分布和干扰两点分布时的零陷加宽技术，这些方法都能有效展宽零陷宽度，提高算法的稳健性。文献［11］通过构造离散的附加干扰源的数学模型，导出了适用于对协方差矩阵进行Gram-Schmidt（G－S）正交化算法的自适应天线方向图零陷加宽方法。本文在线阵波束图无约束G－S正交化综合的基础上，引入零点处的导数约束从而形成宽零陷波束图。此方法能保持无约束G－S正交综合计算简单的优点，同时可以根据所需要零陷深度的不同而方便选择相应的导数约束的阶数。

2 直线阵天线方向图正交综合

考虑一典型线性阵列，阵元布置如图1所示，N个相同的各向同性阵元都位于z轴上，以坐标原点为参考点，则阵列的方向图F()θ可以表示为

式中，λ是天线工作波长；θ是主波束方向与线阵法线所成夹度；dn是第n个阵元在z轴上的坐标，此处亦为离参考点的距离；In是第n个阵元的激励；j是虚数单位。

通常情况下，函数族{φn(u)}不是正交函数族，为求取In方便，利用类似于G－S正交化方法，将函数族{φn(u)}在(－π，π)间实行正交化处理，得到标准正交基函数{ψn(u)}。则方向图亦可以表示为

式中，Bn是方向图函数F( u)在ψn(u)基函数下的投影分量，亦为实际激励，其与中间激励的关系为［12］

可见，采用正交方法的直线阵方向图综合问题可表述为：首先根据实际系统的要求确定阵列单元数目和间距，然后在正交函数下实现综合设计，最后计算在实际非正交化函数下所需要的实际激励［12］。

3 导数约束下的正交综合

设期望阵列方向图为Fd(u)，实际设计得到的方向图为F( u)。由上节的分析可知：

式中，ψ（u）＝（ψ1（u），ψ2（u），…，ψn（u），…，ψN（u））T，中间激励矢量B＝（B1，B2，…，Bn，…，BN）T。则最小二乘误差为

定义向量Γ＝(Γ1，Γ2，…，Γn，…，ΓN)T，其中Γn＝〈Fd(u)，ψn(u)〉，〈〉表示作内积运算，即期望方向图在每个正交基函数上投影分量。展开式（6）得：

可见，最小二乘误差e是关于中间激励B的开口向上的超抛物面函数，在最低点具有最小的函数值。将式（7）两边对激励矢量共轭B*求偏导后化简得：

令式（8）为0（N×1维0向量），得到B＝Γ，即无约束条件下的最小二乘误差综合就是正交综合。

设希望在方向图的M0个位置产生M0个相互独立的零陷，且M0≤N－1，则：

式中，m＝1，2，3，…，M0。定义一个N×M0约束矩阵C0：

为展宽波束图的零点，可以采用零点处波束图施加导数约束的方法。首先考虑波束方向图对u的一阶导数约束。设M0位置的一个子集为Ω1，且Ω1的元素为M1个，则：

同样定义一个N×M1约束矩阵C1：

同理，波束方向图对u的r阶导数为

其中，Ωr是Ωr－1的一个子集，有Mr个元素。

那么总的约束矩阵为C＝[C0C1…Cr]，令Mc＝M0＋M1＋…＋Mr，要求Mc＜N。假设C的列矢量是线性独立的，则CTC*是非奇异的，且秩为Mc。约束条件即为CTB＝0，也即CHB*＝0。

定义目标函数：

其中ζ＝(ζ1，ζ2，…，ζm，…ζMc)T是待定常数向量。现对ζ使用Lagrange常数法：

将式（17）代入零点约束条件得到：

将式（19）代入式（17），即：

这样就得到了中间激励矢量，代入式（4）就能得到实际设计需要的激励矢量。若CTC*条件数较差，可采用先进行奇异值分解，保留主奇异值项来形成约束矩阵C，保证中间计算误差在可接受范围内。

4 设计实例

（1）设计实例1

设天线阵元数N＝11，各个阵元是相同的各向同性阵元，间距为0.5λ的均匀直线阵，理想方向图为－30 dB的Chebyshev方向图。现在干扰方向30°的位置分别产生零阶、一阶和二阶导数约束零陷，方向图分别如图2～4所示，对应阵元激励如表1所示。

（2）设计实例2

设天线阵元数N＝11，非均匀间距阵具体如表2所示，设天线的工作频率为300 MHz，首先利用无约束正交化方法在－45°方向产生最大方向性方向图，然后在－30°、－10°和30°方向分别产生一阶、二阶和三阶导数约束的零陷，结果如图5所示，激励系数如表2所示。

从实例结果中可以看到，通过导数约束很好地实现了方向图零陷展宽，且随着导数约束阶数的提高，零陷也逐步加宽，但更高的约束会消耗更多的天线自由度，实际应用中一般都在三阶以下的导数约束。

5 结论

在非约束G－S正交化方法的基础上分别引入零点导数约束实现了方向图零陷展宽，仿真验证了本方法的有效性。该方法可以根据实际零陷宽度的大小来灵活选择约束导数的阶数，同时本方法还保持了非约束正交化方法计算简单、计算量小的优点。但多个零点很靠近时约束矩阵接近奇异情况下的算法还需要进一步的研究。

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LI Rong-feng，WANG Yong-liang，WAN Shan-hu.Research on adapted pattern null widening techniques［J］.Modern Radar，2003（2）：42－45.（in Chinese）

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WU Si-jun，ZHANG Jin-zhong，ZHANG Shu.Research on beamforming of wide nulling algorithm［J］.Journal of Harbin Engineering University，2004，10（5）：658－661.（in Chinese）

［11］陶青长，高梅国，黄桂根.基于GS算法的天线方向图零陷加宽方法［J］.北京理工大学学报，2006，26（9）：836－839.

TAO Qing-chang，GAO Mei-guo，HUANG Gui-gen.Adapted pattern trough widening technique on GS algorithm［J］. Journal of Beijing Institute of Technology，2006，26（9）：836－839.（in Chinese）

［12］Salialos J N.A Solution of the General Non-uniformly Spaced Antenna Array［J］.Proceedings of IEEE，1974（68）：1292－1294.（in Chinese）

WANG Jian-hui was born in Guanghan，Sichuan Province，in 1974.He is now a lecturer with the M.S.degree.His research interests include air traffic programming，CNS information management and air law researching.

Email：atcerwjh＠sina.com

黄龙杨（1973－），男，安徽霍山人，博士，讲师，主要研究方向为阵列信号处理、卫星导航、空中交通管理；

HUANG Long-yang was born in Huoshan，Anhui Province，in 1973.He is now a lecturer with the Ph.D.degree.His research interests include array signal processing，satellite navigation and air traffic management.

Email：longyanghuang＠gmail.com

潘卫军（1969－），男，湖北英山人，硕士，教授，主要研究方向交通运输规划、空管系统信息管理。

PAN Wei-jun was born in Yingshan，Hubei Province，in 1969. He is now a professor with the M.S.degree.His research interests include air traffic programming and information management of air traffic control system.

Synthesizing Pattern with Broad Nulls Based on Gram-Schmidt Orthogonal Method

WANG Jian-hui，HUANG Long-yang，PAN Wei-jun
（Air Traffic Management College，Civil Aviation Flight University of China，Guanghan 618307，China）

Based on the Gram-Schmidt（G-S）orthogonal method for pattern synthesis of linear array without constraints，null derivative constraints are proposed to implement pattern synthesis with broad nulls.The advantage of the simplified computation due to steering vector orthogonalization in unconstrained orthogonal approach is maintained，and the uniform or non-uniform linear array pattern synthesis can be realized by this method.The experimental results show that the null constrained orthogonal approach can fulfill linear array pattern synthesis with constrains such as null constrains，first-order and second-order derivative null constraints.

linear array；pattern synthesis；broad null；Gram－Schmidt orthogonalization；derivative constraints

The Key National Natural Science Foundation of China（No.60832011）

TN957.2

A

10.3969／j.issn.1001－893x.2010.06.012

王剑辉（1974－），男，四川广汉人，硕士，讲师，主要研究方向为交通运输规划、通讯导航监视信息处理、航空技术法规；

1001－893X（2010）06－0054－05

2010－03－05；收回日期：2010－04－16

国家自然科学基金重点项目（60832011）