速率比例公平下多用户OFDM系统的自适应资源分配❋

李圣，龚学余

速率比例公平下多用户OFDM系统的自适应资源分配❋

李圣，龚学余

（南华大学电气与电子工程学院，湖南衡阳421001）

在多用户正交频分复用（MU－OFDM）系统中，考虑各个用户之间具有比例数据传输速率限制条件下的一种公平的自适应资源分配方案的最优算法计算量巨大，为此，提出了一种将子信道分配和功率分配相分离的次优算法。首先，在假设相同功率分配的情况下进行子信道的分配，然后在保持一定比例公平条件下使总容量最大时进行最优功率分配。对该算法的仿真表明，在用户数为2、子信道数为10的系统中，所提算法的容量性能接近最优算法，而计算量由指数增长变为线性增长。所提资源分配算法的总容量比以前的算法在用户间的分配更公平也更灵活。

多用户正交频分复用；资源分配；比例速率限制；次优算法；注水法

1 引言

正交频分复用（OFDM）是下一代无线通信的一种最有前途的关键技术［1］，多用户OFDM（MUOFDM）在OFDM中增加多址接入以允许多个用户共享一个OFDM符号。在无线通信环境中，许多OFDM系统既要求尽量提高系统的信道容量又要满足一定服务质量（QoS）的情况下尽可能地考虑各个用户之间的公平性，以满足各类用户多种业务的需求。其优化目标是在总功率的限制下使每个用户的无误容量最大化。这类优化问题通常是非线性的，计算量非常大。

近年来，Jang和Lee在文献［2］中证明了当最大增益的子信道都分配给用户并采用注水算法分配功率时总容量最大，但他们没有考虑公平性的问题。如果用户的路径损耗不同，信噪比高的信道将分配到更多的资源（子信道和功率），平均信道增益较低的用户可能接收不到任何数据。Rhee和Cioffi在文献［3］中研究了max－min问题，即最大化最差用户的容量，保证所有用户达到最小的数据速率。但他们仅能提供用户间最大化公平性，而在无线系统中，不同用户有不同的数据速率与他们不同的业务相对应。本文提出了在容量和公平性之间取得平衡的一种新的优化问题，其优化目标仍然是总容量，但增加一些非线性限制以保证各用户间容量的比例公平［4－5］。

2 系统模型

多用户OFDM系统如图1所示。在基站，所有信道信息被送到各子信道，也通过各移动用户的反馈信道被送入功率分配算法中，资源分配算法位于OFDM发射机。发射机为不同用户选择不同个数的比特形成OFDM符号。该资源分配方案的更新与信道信息收集的更新同步。本文假设基站能获得理想的即时信道信息，还假设子信道及比特分配信息通过各自独立的信道被送到每个用户。

本文中，系统的总用户数为K，共享N个子信道，总的发射功率为Ptotal。我们的目标是优化子信道和功率分配以在总功率限制下使总无误容量最大，但在系统中通过增加一组非线性限制引入比例公平的思想，以便能显式控制用户之间的容量比例，保证每个用户在给定充足的总可用发射功率下均满足目标数据速率。本文考虑的优化问题用数学公式表述为

式中，K为总的用户数，N为总的子信道数，N0为AWGN的功率谱密度，B和Ptotal分别为总的可用带宽和功率，pk，n为用户k子信道n上分配的功率，hk，n为用户k子信道n的信道增益，ρk，n（要么为1，要么为0）指示子信道n是否被用户k使用。第4个限制表示每个子信道仅能被一个用户使用。用户k的容量Rk定义为

公平指数定义为

其最大值为1对应于最大公平，此时所有用户得到相同的数据速率。当所有γi项相等，式（1）中的目标函数与文献［3］中的max－min问题相同，因为使所有Rk项相等时的总容量最大化与最差用户容量最大化等价。因此，文献［3］是所提公平性限制问题的一种特殊情况。

3 次优资源分配方案

理想情况下式（1）的最优解应是子信道和功率的联合分配，基站在无线信道改变时必须尽快计算出最优的子信道和功率的分配，但大量的计算负担使其不可能成为最优。因此，从实现的成本收益和延时敏感角度而言，低复杂度的次优算法是最佳选择。将子信道和功率分配分开，可以将目标函数中的变量个数减少几乎一半，以降低复杂度，是一种有效的方法。

3.1 次优子信道分配

根据文献［3］，讨论假设所有子信道的功率分布相同的次优子信道分配算法。定义

为用户k在子信道n上的信噪比，Ωk为分配给用户k的子信道组。算法描述为：

（1）初始化。置Rk＝0，Ωk＝φ（k＝1，2，3，…，K）及A＝｛1，2，3，…，N｝；

（2）对于k＝1～K：

1）寻找满足｜Hk，n｜≥｜Hk，j｜，所有j∈A的n；

2）设Ωk＝Ωk∪｛n｝，A＝A－｛n｝并根据式（2）更新Rk；

（3）当A≠Ø：

1）找满足Rk／γk≤Ri／γi所有i，1≤i≤K的k；

2）对于已找到的k，找满足｜Hk，n｜≥｜Hk，j｜（j∈A）的n；

3）对于已找到的k和n，令Ωk＝Ωk∪｛n｝，A＝A－｛n｝，并根据式（2）更新Rk。

每个用户的次优子信道算法的原则是尽量利用具有高信噪比的子信道。在每次迭代中，具有最低比例容量的用户选择所使用的子信道。因假设所有子信道的功率分布相同，所以该子信道分配算法是次优的。子信道分配过后仅得到了粗步的比例公平，在下节中的功率分配可以达到既保持比例公平又使总容量最大的目标。

3.2 固定子信道分配的最优功率分配

对于给定的子信道分配，该优化问题的公式为

式中，Ωk为用户k的子信道集，当k≠l，Ωk和Ωl互斥。

式（4）的优化问题等价于求下面成本函数的最大值：

式中，｛λi｝为Lagrangian乘数。将式（5）对于pk，n进行微分并使每个微分为0，可得

（1）单用户的功率分配

由式（6）或式（7）有：

式中，m，n∈Ωk，k＝1，2，3，…，K。不失一般性，假设Hk，1≤Hk，2≤…≤Hk，Nk，k＝1，2，3，…，K，Nk为Ωk中的子信道数，式（8）可重写为

式中，n＝1，2，3，…，Nk，k＝1，2，3，…，K。式（9）给出了单用户k在子信道n上的功率分配。子信道的信噪比越高将分配更多功率，这是频域中的注水算法。

定义Pk，tot为用户所分配的总功率，根据式（9）有：

（2）用户之间的功率分配

一旦集合｛Pk，tot｝Kk＝1已知，可由式（9）及式（10）确定功率分配。式（4）中的总功率限制及容量比限制用以获得｛Pk，tot｝Kk＝1。由式（8）和式（10），容量比限制可以表述为

式中，k＝2，3，4，…，K，Vk和Wk定义为

加上总功率限制

在式（11）和（14）的K个方程组中有K个变量｛Pk，tot｝。求解该组函数即得最优功率分配方案。一般地，该方程组非线性，可用迭代方法比如牛顿Newton Raphson或准牛顿quasi-Newton方法［5］来求解，但计算量很大。在牛顿方法中，计算复杂度主要源于寻找更新方向。在一定条件下，在一个方向可以找到最优或近似最优解。下面分析两种特殊情况。

（1）线性情况

若N1：N2：…：NK＝γ1：γ2：…：γK，则方程组即式（11）和（14）可以转换成一组线性方程：

其中：

式（15）中的矩阵｛ai，i｝仅在第一行、第一列及主对角中有非零元素。代入式（15）中得解的计算复杂度为O（K）。

（2）高信噪比信道的情况

在自适应调制中，难出现线性条件，方程组仍是非线性的，计算复杂度相当大。但若信道信噪比很高，可对问题进行近似简化。

首先考虑式（12），当信噪比很高时，Vk相对于Pk，tot很小，而且若使用自适应子信道分配，总选择最好的子信道，因而信道之间有相对小的信道增益差异，因此第一个近似为Vk＝0。

其次，假设基站能提供大功率和高信噪比信道，则Hk，1Pk，tot／Nk远远大于1。

由以上的两个近似，式（11）可简化为

将式（18）代入式（14），具有变量P1，tot的单方程为

其中：

牛顿求根法或虚定位法［6］等数值算法可用于求式（19）的零点。

3.3 功率分配方案

（1）单用户功率分配的求解

对于某用户k，若Vk＞Pk，tot则不分配功率，贪婪注水算法可能停止使用该子信道。此时，集合Ωk，以及相应的Nk、Vk和Wk需要更新，并再次执行功率分配算法，如图2所示。

（2）多用户功率分配方案

在信噪比较高的信道情况下，由于求和中的每一项单调上升且在P1，tot＝0及P1，tot＝Ptotal有不同的符号，因而式（19）有且仅有一个解。求解的复杂度主要决定于数值算法及结果的精确度要求。求得P1，tot后，用式（18）可计算出｛Pk，tot｝，然后由式（9）和式（10）确定总的功率分配方案。

一般地，可证明存在一种满足比例公平限制及总功率限制的最优子信道和功率分配方案，而且该最优方案利用所有可用的功率。首先，对于某一用户，若采用注水算法可使该用户的容量最大化，而且容量函数关于总有效功率是连续的；也就是说，Rk（Pk，tot）对于Pk，tot是连续的；第二，若该最优分配方案没有使用所有的可用发射功率，则可以在用户间再次分配未用功率，仍保持容量比限制，因为对所有的k，Rk（Pk，tot）关于Pk，tot连续，因此总容量可进一步提高。

3.4 复杂度分析

最佳子信道分配方案能通过穷举搜索得到，对于每一个子信道分配，运行图2所示的最佳功率分配算法，其计算复杂度为O（K）。具有最大总容量的子信道分配是最佳的。在K用户N子信道系统中，求解全局最佳值是不可行的，因为存在KN种可能的子信道分配。而所提方案由复杂度为O（KN）的子信道分配和复杂度为O（K）的功率分配两部分构成。由于功率分配仅需执行一次，使所提方案的复杂度近似为O（KN），大大小于最优方案。

4 仿真结果

无线信道为6径独立的瑞利频率选择性信道。每一径按照Clarke的平坦衰落模型建模［7］，设功率衰减特性为e－2l的指数衰减，其中l为多径指数。因此设6径的相对功率为［0，－8.69，－17.37，－26.06，－34.74，－43.43］dB，总的可用带宽和发射功率分别是1 MHz和1 W。

图3为总容量与γ1／γ2的关系曲线图，图中给出了次优和最优的结果，这里的用户数和子信道数都很小以减少最优求解的时间。由图可知，当两个用户的路径损耗无区别时，总容量对公平性限制不那么敏感，但当路径损耗差别较大，比如超过10 dB时，总容量随公平限制比率变化较大。例如，当用户1的平均信道功率（记为E（ch1））比用户2的高10 dB，则总容量随γ1／γ2减小而降低。原因是，当减小γ1／γ2，更优先向较差的用户2分配资源，导致总容量降低。由图3可见，在2个用户10个子信道的系统中，所提方法能到达最优性能的95%。

图4 为容量与OFDM系统用户数的关系曲线图。由图可见，文献［3］的自适应资源分配（实际上与本文方案中设γ1：γ2：…：γK＝1：1：…：1时的情况等价）时的容量比固定的TDMA有显著提高。另外，本文带有比例公平限制的自适应资源分配比等功率分配方案的容量要高。由图还可以看出，相对于TDMA的容量增益随用户数的增加而增加，其原因解释为：由于分集效应，系统的用户越多，给定子信道对于所有用户而言都是深衰落的概率降低。例如，系统有16个用户时，相对于固定TDMA的容量，本文所提功率分配比等功率自适应分配［3］高17%。

5 结论

多用户OFDM系统的自适应资源分配可以使OFDM技术克服频选衰落信道对高速数据通信的影响，提高信道利用率从而提高系统容量，改善系统的服务质量。本文对于不同的用户速率限制｛γi｝Ki＝1的比例速率，通过对基站的配置，可以灵活地对用户进行资源分配，从而既保证较优的系统容量，又保证用户之间的适当公平性。本文所提的优化算法是将子信道与功率分配分开的次优分配，从而大大降低复杂度（从O（KN）到O（KN））。分析和仿真结果表明，该次优算法运行速度快，又能保证资源分配的性能，因此，是一种较有效的实时自适应OFDM技术，但更符合实际情况的多载波多用户多业务的OFDM资源分配算法还有待进一步研究。

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LI Sheng was born in Hengyang，Hunan Province，in 1972.He received the M.S.degree from Chongqing University of Posts and Telecommunications in 2003.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research concerns the key techniques of mobile communication systems.

Email：leesaint＠163.com

龚学余（1962－），男，湖南桃江人，2001年获工学博士学位，现为教授、博士生导师，主要从事电场计算等方向的研究。

GONG Xue-yu was born in Taojiang，Hunan Province，in 1962. He received the Ph.D.degree from Southwestern Institute of Physics in 2001.He is now a professor and also the supervisor of Ph.D.candicate.His research concerns computationalelectromagnetics.

Adaptive Resource Allocation with Proportional Rate Constraints in MU-OFDM Systems

LI Sheng，GONG Xue-yu
（Department of Electrical and Electronic Engineering，University of South China，Hengyang 421001，China）

The computation of the adaptive resource allocation with proportional data rate constraints in multiuser orthogonal frequency division multiplexing（MU-OFDM）system is large when considering the fairness among the users.To avoid the extreme computation complex of the optimal solution，a low-complexity suboptimal algorithm is proposed in which subchannel allocation and power allocation are separated.In the proposed algorithm，subchannel allocation is first performed by assuming an identical power allocation.Then an optimal power allocation algorithm is carried out to maximize the sum capacity while maintaining proportional fairness.The simulation result of the proposed algorithm shows that approximate performance of the optimal capacity can be achieved in a two-user ten-subchannel system，while the complexity is reduced from exponential to linear.The sum capacity of the proposed resource allocation algorithm is more faire and flexible among users than that of the previous.

MU-OFDM；resource allocation；proportional rate constraint；suboptimal algorithm；water-filling

The National Natural Science Foundation of China（No.10775066）；Scientific Research Fund of Hunan Provincial

TN929.53

A

10.3969／j.issn.1001－893x.2010.06.002

李圣（1972－），男，湖南衡阳人，2003年获重庆邮电大学通信与信息系统工学硕士学位，现为博士研究生，主要从事移动通信关键技术的研究；

1001－893X（2010）06－0005－06

2010－03－17；

2010－04－26

国家自然科学基金资助项目（10775066）；湖南省教育厅资助科研项目（07C643）

Education Department（No.07C643）