巧用方法妙在变形<br/>——谈谈求阴影图形面积的十二种技巧

巧用方法妙在变形
——谈谈求阴影图形面积的十二种技巧

2010-03-23王庆明罗兰香

成才 2010年12期

■王庆明罗兰香

巧用方法妙在变形
——谈谈求阴影图形面积的十二种技巧

■王庆明罗兰香

求组合图形的面积是小学数学教学的难点之一。这类题目由于融识图分析、基本几何图形的特性及计算、空间想象能力于一体，知识、能力的综合性强。对于这类问题的解答，除了要熟练地掌握平面图形的概念和面积公式之外，还要利用图形运动变化的规律来寻求解答途径，使一些表面上看来条件不足、不能计算的求积问题，通过转化使图形化繁为简，使解题思路更加简捷。这样不仅能使我们熟练地掌握分析图形和进行面积计算的方法和技巧，还能有效地提高我们的识图能力、分析综合能力和空间想象能力。根据长期的教学实践的探索与研究，下面谈谈平面组合图形求积的几种方法。

一、去空求差法

去空求差即一个图形由阴影部分和空白部分组成，从整个图形中去掉空白部分而求得阴影部分面积的一种方法。

例1求阴影面积（单位：厘米）

分析与解答：此题的解题思路为：S阴影=S梯形-S扇形，已知：a=8 b=4 h=4 r=4 n=90°+90°÷2=135°所以：S阴影=（8+4）×4÷2-× 135=18.84（平方厘米）。

二、等分法

等分法是将所求部分等分成若干份，先求出一份，再求出要求图形面积的方法。

例2在长方形ABCD中，Q为长边的中点，P为宽为的中点，问下图阴影部分面积占长方形的几分之几？

分析与解答：作辅助线QM、PN、MN，把长方形分为8等份，阴影部分的面积占3等份，故阴影部分的面积占长方形的。

三、割补法

割补法指在组合图形中，把其中一部分图形割下来，补在另一部分图形有适当位置上，使两部分的阴影图形相拼后，组成一个求积运算比较简单的图形。

例3求阴影部分的面积（单位：厘米）

分析与解答：把阴影部分的小半圆割下，补在上面的空白小半圆处。两部分阴影图形相拼，拼合成一个直径是4厘米的半圆。

所以：S阴影=3.14×（4÷2）2÷ 2=6.28（平方厘米）

四、扩倍法

扩倍法是把图形扩大倍数，先求扩倍的面积，再求原图面积的方法。

例4求阴影部分的面积（单位：厘米）

分析与解答：将图1扩大一倍变为图2，所以图1阴影部分的面积为：10×10-3.14×5×5=21.5（平方厘米）。

五、平移法

平移法即把组合图形中的一部分阴影图形作水平移动，与另一部分阴影图形相拼，组成一个求积运算比较简单的图形。

例5求下图阴影部分的面积（单位：厘米）

分析与解答：把图中左边的阴影图形向右作水平移动，与右边的阴影图形相拼，拼合成一个直角梯形。S阴影= [（6-2）+（4-2）]×2÷2=6（平方厘米）。

六、翻折法

翻折是指把一个图形按某一直线翻折180°后所形成的新图形的变化。在较复杂的计算阴影部分面积的几何题中，有些题目运用分解法求解非常麻烦，但若能根据图形及数据的特点，运用翻折法便可十分简捷地得出解答。

例6求下图阴影部分的面积（单位：厘米）

分析与解答：沿着OA把上面的图形向下翻折，两边的阴影图形拼合成一个三角形。所以S阴影=3×（3÷2）÷ 2=2.25（平方厘米）。

七、旋转法

旋转法是以组合图形中的某一点为旋转中心，把组合图形中的一部分图形旋转，与另一部分图形相拼，使阴影图形变成一个求积运算比较简单的图形。

例7如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。

分析与解答：设小圆半径为r，4r2=36，r=3，大圆半径为R，R2=2r2=18，将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环，所以阴影部分的面积为：

π（R2-r2）÷2=4.5π=14.13

八、等积变形法

等积变形法是通过图形之间的等积变形而获得其解的方法。

例8下图梯形中两个阴影部面积的和应是多少平方厘米？

分析与解答：可根据同底等高的三角形面积相等，用添辅助线进行等变形来解此题。因梯形的高为3×4÷ 5=厘米，连接BE，那么S三角形ASC= S三角形BCE，所以S阴影=S三角形BED=×（平方厘米）。

九、比例法

比例法是利用图形之间的比例关系来解题的一种方法。

例9一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，图中阴影部分的面积是多少？

分析与解答：因为阴影部分也是一长方形，所以只要求出它的长、宽是多少就行，为此设它的长、宽分别为a、b，面积为18公顷的长方形的长、宽分别为c、d，按公式便有：

a×c=15，c×d=18，b×d=30，

因为（a×c）×（b×d）=15×30，

而（a×c）×（b×d）=（a×b）×（c× d）=18×（a×b）

所以a×b=15×30÷18=25

阴影部分的面积为25公顷。

此题可以直接按比例关系来理解。因为（a×c）：（d×c）=（a×b）：（d×b），a：d=15：18=阴影面积：30，求出阴影面积为15×30÷18=25（公顷）。

十、等量代换法

等量代换法指一个图形可以用与它相等的另一个图形替换，如果甲乙大小相等，那么求出乙的大小，就知道甲的大小；两个图形同时增加或减少相同的面积，它们的差不变。

例10平行四边形ABCD的边BC长8厘米，直角三角形ECB的直角边EC长为6厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，平行四边形ABCD的面积是多少？

分析与解答：阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，分别加上梯形FBCG，得出的平行四边形ABCD比三角形EBC的面积大8平方厘米。

平行四边形ABCD的面积：8×6÷ 2+8=32（平方厘米）。

十一、布列方程法

布列方程法是通过设未知数、布列方程而使问题获得解答的方法。

例11 ABCD是一个长方形，BC=9厘米，CD=6厘米，且三角形ABE、三角形ADF和四边形ABCF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积是多少？

分析与解答：从图中可以看出，三角形AEF的面积，等于四等边AECF的面积与三角形ECF面积之差，由于三角形ABE、三角形ADF和四边形AECF的面积彼此相等，而长方形ABCD的面积为6×9=54（平方厘米），所以四边形AECF的面积为54÷3=18（平方厘米）。另外只要算出EC、FC的长度，便能求出三角形CEF的面积。

因为三角形ABE、ADF是直角三角形，面积都是18平方厘米。而根据面积公式有18=×AB×BE，18=× AD×DE，AB=6厘米，AD=9厘米，即得两个简易方程：×6×BE=18，× 9×DF=18，BE=6厘米，DF=4厘米。EC=BC-BE=9-6=3（厘米），CF=CDDF=6-4=2（厘米）。