圆形磁场中的趣味对称问题

刘家璞 袁本利

(丹江口市一中 湖北 丹江口 442700)

不计重力的带电粒子在进入圆形匀强磁场区时，运动呈现出有趣的对称性．

图1

(1)粒子沿半径方向进场，必然沿半径方向出场

如图1所示，带正电的粒子沿AO方向进入磁场，O′为粒子轨迹圆圆心，∠OAB+∠BAO′=∠OBA+∠ABO′=90°, 而∠BAO′=∠ABO′,所以∠OAB=∠OBA，即OB一定沿半径方向．

图2

(2)粒子进出磁场时与磁场圆半径之间的夹角必然相等

如图2所示，带正电的粒子沿AC方向进入磁场，从B点射出，O′为粒子轨迹圆圆心.由平面几何知识容易证得∠OAC=∠OBC.

(3)当粒子轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等时，与在同等条件下以不同方向进场的各粒子，在出场时速度方向必然互相平行

图3

(4)当粒子轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等时，在同等条件下互相平行进入圆形磁场区的粒子，虽然进场时位置不同，必然从同一点出磁场

由上述第三种情况知，类似于光路可逆性，在图3中各粒子若带负电，只要粒子轨迹圆半径与磁场区域圆半径相等，当都沿与OB平行的方向进入磁场时，必然都从A点出磁场．这就是在实际中应用非常广泛的磁聚焦．

上述对称性应用很广泛，在2009年高考浙江省和海南省试卷都有这类问题.下面是一个实际应用的例题.

例题：人们到医院检查身体时，其中有一项就是做胸透.做胸透用的是X光，……我们可以把做胸透的原理等效如下：如图4所示，P是一个放射源，从开口处在纸面内向各个方向放射出某种粒子(不计重力)，而这些粒子最终必须全部垂直射到底片MN这一有效区域，并要求底片MN上每一地方都有粒子到达．若放射源射出的是质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，且所有的粒子速率都是v，M与放射源的出口在同一水平面，底片MN竖直放置，底片MN长为L．为了实现上述目的，我们必须在P的出口处放置一有界匀强磁场．求：

图4

(1)匀强磁场的方向.(垂直纸面向外)