对一道竞赛题的深入探究

田阳阳

(仪征市第二中学 江苏 扬州 211400)

1 原题及参考解答

1.1 题目(第22届全国中学生物理竞赛复赛题)

两辆汽车A与B，在t=0时从十字路口O处分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图1所示.汽车A持续地以固定的频率ν0鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率.已知声速为u，且当然有u大于vA和vB.

图1

1.2 参考解答

如图2所示，t时刻汽车B位于B(t)处，距O点的距离为vBt.此时传播到汽车B的笛声不是t时刻而是较早时刻t1由A车发出的.汽车A发出此笛声时位于A(t1)处，距O点的距离为vAt1.此笛声由发出点到接收点(t时刻B车所在点)所传播的路程为u(t-t1)，由几何关系可知

图2

(1)

即

(u2-vA2)t12-2u2tt1+(u2-vB2)t2=0

这是以t1为变量的一元二次方程，其解为

由于u2>u2-vA2，且t1

(2)

所以

(3)

令

(4)

(5)

在t1时刻，位于A(t1)处的汽车A发出的笛声沿直线(即波线)A(t1)B(t)在t时刻传到B(t)处，以θA(t1)、θB(t)分别表示车速与笛声传播方向的夹角，有

(6)

(7)

令ν′表示B车司机接收到的笛声的频率，由多普勒效应可知

(8)

由式(6)、(7)、(8)，得

其中

(9)

2 创造性解答及讨论

2.1 创造性解答

如图3所示，取另一辆从坐标原点O出发以速度v0匀速运动的汽车C为参照系.当汽车A在A0点时，汽车C在C0点，当汽车A行驶到A(t)点时，汽车C行驶到C(t)点，并收到汽车A在A0点发出的笛声.设θ为v0与x轴正方向之间的夹角，α为A(t)C(t)与x轴正方向之间的夹角，β为选汽车C为参照系时，笛声速度u′与汽车C运动方向之间的夹角，γ为u与u′之间的夹角.易知u′与A0C0及A(t)C(t)平行.由

图3

得

u=u′+v0(取v0>vA)

则汽车C的司机所接收到的笛声频率为

下面分别计算u′与λ′.为计算所需，先做一些准备工作.

由图3可知

β=α-θ

所以

sinβ=sin(α-θ)=

由sin2β+cos2β=1

得

cosβ=cos(α-θ)=

cosγ=

cosα=-cos(180°-α)=

参照图3有

u′=ucosγ-v0cosβ

关于λ′参照图4有

图4

所以

(10)

当θ=-90°，v0=vB时，上式化为

其中

应当指出以上结果与参考解答的结果(9)式是相等的，因为

2.2 讨论

取vA=18 m/s，v0=20 m/s，u=340 m/s，

θ∈[-π，π]用Mathematica软件作图，如图5所示.

图5

3 拓展

图6

讨论：取vA=18 m/s，u=340 m/s，a=1 m/s，θ=45°

t∈[0，1000]用Mathematica软件作图如图7所示.

图7

参考文献

1 田阳阳，叶清，李明跃.一道竞赛题的四种解法探讨.物理教师，2009(1)：58