竖直平面内圆周运动中的抛体运动

冯明志

(徐州一中 江苏 徐州 221002)

圆周运动问题是力学中的基本问题之一，中学主要研究在水平面内和竖直面内的两种圆周运动.通常我们认为，只要物体运动时有提供与运动方向相垂直的向心力,物体就能在一定轨道上做圆周运动，而事实上由于物体所处的运动状态和受力特征不同,不是每种圆周运动都能发生；在一定情况下，就会由圆周运动变抛体运动.这类问题总是出现在变速圆周运动中,而竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，下面我们主要通过竖直平面的圆周运动来探讨这一问题.

1 圆轨道内侧的抛体运动

当物体沿圆轨道内侧做圆周运动时(如过山车)，如果轨道对物体有作用力，只能是垂直支承面向内的压力；当轨道与物体间没有作用力时，物体将做抛体运动.

【例1】一质量m=2 kg的小球从光滑斜面上高h=3.5 m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R=1 m的光滑圆环[图1(a)]，求：

(1)小球滑至圆环顶点时对环的压力；

(2)小球至少应从多高处静止滑下才能越过圆环最高点；

(3)小球从h′=2 m处静止滑下时将在何处脱离圆环.(取g=10 m/s2)

图1

解：(1)设小球滑至环顶时速度为v，所受环的压力为N，由机械能守恒和圆周运动条件得(以轨道最低点为零势面)

(1)

(2)

联立解得

N=40 N

(2)刚好越过圆环时，在环顶由重力提供向心力，球与环间的压力等于零，在(1)解法中令N=0，可得

(3)由于h′

(3)

(4)

联立解得

2 圆轨道外侧的抛体运动

图2

解析：设物体在N处满足弹力FN=0,设此时距顶点高度为h，

从顶点至N，由动能定理，有

(1)

在N处：FN=0有

(2)

而

(3)

由式(1)、(2)、(3)得

则有

(4)

3 轻质绳作用下的抛体运动

【例3】用长为L=1.6 m的细绳，一端系着质量M=1 kg的木块，另一端挂在固定点上.现有一颗质量m=20 g的子弹以v1=500 m/s的水平速度向木块中心射击，结果子弹穿出木块后以v2=100 m/s的速度前进.求木块能运动到的最高位置.(取g=10 m/s2，空气阻力不计)

解析：木块在向上运动的过程中，速度逐渐减小，有可能通过最高点B，也有可能不会通过B点，即木块运动到某一临界位置C时，若木块所受的重力在沿半径的分力恰好等于木块做圆周运动所需要的向心力，此时绳子的拉力为零，绳子便开始松弛.如果C点在圆心O所在水平面以上[图3(a)]，木块就以此刻所具有的速度vC做斜上抛运动.木块所能到达的高度就是C点的高度和从C点开始的斜上抛运动的最大高度.如果C点在圆心O所在水平面以下[图3(b)]，即木块的最高点在O点水平面下方时速度就减为零，此处即为物块运动的最高点.由上分析可知，要先根据圆周运动的临界条件判断木块的运动.

图3

具体解答如下：

在水平方向动量守恒，有

mv1=MvA+mv2

(5)

式(5)中vA为木块被子弹击中后的速度,木块被子弹击中后便以速度vA开始摆动.

从式(5)求得

vA=8 m/s

设木块刚好能摆动到了B点.则它在B点时的速度vB.应满足方程

(6)

这时木块的重力提供了木块在B点做圆周运动所需要的向心力.

解上述方程得

vB=4 m/s

如果vB<4 m/s，则木块不能升到B点，会在到达B点之前的某一位置以某一速度开始做斜向上抛运动，或者直接从该位置滑下，选A点为零势能点，木块在A点时的能量为

木块在B点时的能量为

两者不相等，可见木块升不到B点；而物体在与圆心等高处的重力势能为

Ep=MgL=16 J

所以物体上升的高度h满足

1.6 m

设木块在临界位置C时的速度为vC，高度为h′如图所示，则有

h′=L(1+cosθ)

(7)

根据机械能守恒定律有

(8)

在C处，有

(9)

由式(7)、(8)、(9)得

所以

木块从C点开始以速度vC做斜上抛运动所能达到的最大高度h″为

所以物体上升的最大高度为

通过对以上例题的分析，不难看出在变速圆周运动中的某些特殊位置上，常存在着最小(或最大)的速度，小于(或大于)这个速度，物体就不能再继续做圆周运动了.通过对此类题型的分析，可以激发学生学习物理学的兴趣,掌握物理学的基本规律,培养创造性思维.