关于教师经历“非常规数学对象”的思考

沈晓芳

(石河子大学师范学院 数学系,新疆 石河子 832003)

在数学的学习过程中，有许多数学对象和内容是约定俗成的，我们通常说的进制是指十进制，谈到几何大家会理所当然的认为是指欧几里得几何等等.然而，在数学史的发展过程中同时还伴随着非常规的数学对象，学习和经历它们对教师处理常规对象有着不可忽视的作用，同时对教师理解其他学科从而掌握本学科的内容也有至关重要的理论价值和实践意义.

1 调查研究

下面就几个实例进行阐述.

1(a)能被5整除的数当且仅当它的各个位数的数字之和能被5整除.

1(b)a+(b·c)= (a+b)·(a+c).

1(c)三角形的内角和小于180度.

通过调查中学教师，如果上述三个结论没有前提条件，93%的教师认为是打印错误和印刷错误. 因为1(a)中应将5换成3；1(b)中应将“+”和“·”互换；1(c)中应将小于号换成等于号.

再看另外三个例子：

2(a)能被3整除的数当且仅当它的各个位数的数字之和能被3整除.

2(b)a·(b+c)= (a·b)+(a·c).

2(c)三角形的内角和永远是180度.

初看结论肯定是对的，再仔细看看，会意识到结论成立所隐藏的假设是2(a)成立当且仅当我们理所当然的认为是十进制系统；2(b)成立当且仅当我们理所当然的认为是在常规的代数运算中；2(c)成立当且仅当我们理所当然的认为是欧几里得几何.

如果没有这些假设的前提，我们改变这些常规假设，结果会怎么样呢？对任何水平的数学教师来说，改变常规的思维方式对创造性思维的培养都是有价值的，并且能够丰富教师的学科内容知识和教学法观念.

2 基本理论

数学学习是主体主动建构数学概念的过程，这是认识论的建构主义.Skemp认为：“要理解一个新的情景意味着将它同化到自己合适的图示中.”进一步延伸为同化到更为丰富或更抽象的图示中.这说明当数学概念成为一个人头脑中许多一般的数学概念的具体的例子时，这时就构建了一个较丰富的图示.[1-2]比如：将熟悉的整数运算看作是加法交换群的例子或将一个正方形看作是平行四边形的特例.一个丰富的图示构建规定些什么？它的核心原则是皮亚杰的认知发展理论：在一个特殊的环境中，个体意识到了一个非平衡的状态将会通过同化使状态达到平衡.否则，将会重新构建一个图示使个体能接受这种状态[3-4].本文呈现了三个非平衡的学习活动的实例，因此需要再构建新的图示.

2.1 非常规的数字系统

在20世纪中叶，人们学会了数数、加法和乘法，我们的祖先将印度—阿拉伯数字系统作为人类的一项伟大发明，为了便于应用和理解，一直长期沿用十进制系统.然而最初受到挑战的是五进制数.加法和乘法对于不同的进制需要转化，非十进制数换算成十进制后可能是小数.比如：12.345转化成十进制数为12.345=1×5+2×1+3×1/5+4×1/25=7.7610

同一个数字规则对于不同进制是有变化的.比如，下列规则对于十进制来说是成立的：如果a能被c整除，b也能被c整除，则(a+b)也能被c整除；任何能被12整除的数一定能被3整除；81、100、121、144和169等都是完全平方数.那么这些规则对于非十进制未必完全成立.上述这些实践活动是一种构建或再构建非常规数字系统的较好的方式，转换不同进制的位值找出规律是对教师和学生最初假定的十进制数字系统观念的一个挑战.

2.2 非常规的运算

1(c)当“+”和“·”在布尔运算中，则a+(b·c)= (a+b)·(a+c)是成立的.布尔运算的等式表述和物理电路可以建立一种对应使其相互转化.它的具体实例应用于串联和并联电路中，分别用“·”和“+”代替(如图1)[5].表1用真值表证明了等式的真实性，然而学生却不易接受这种运算.为了避免混淆，学生一般会采用不同于常规的加法和乘法表示法.但是对于教师来说，可以看到这种使用混淆记号的好处，使得代数运算和物理背景很好的联系在一起了.起初使用这种混淆的记号会显得不自然，渐渐地会接受这种运算并意识到使用记号的真正含义.

图1 物理电路与布尔运算等式的相互转化

表1 a+(b+c)=(a+b)·(a+c)的真值表

Hadar和Hadass的研究表明：尽管数学教材中有较透彻的说明，教师仍然受算术运算的原型例子的影响.[6]教师如果能经常给学生呈现多种非常规的运算实例，不仅能帮助学生克服错误观念并且能证明反例证(用以证明某理论或定理不成立)的重要性.教师也要主动分析自己出现错误观念的来源，从而使学生减少依赖特殊的例子，这种意识和观念对于数学教师来说也是非常必要的.

2.3 非常规的几何公理体系

几何证明对学生和教师来说都是一种挑战，学习欧几里得几何的困难是证明和演绎推理.需要分析已知条件有哪些？推理的原理是什么？

公理1：平面是点的集合，每个平面至少有两条直线.

公理2：平面上任何两个点有且仅有一条直线经过这两个点(两点确定一条直线).

公理3：过直线m外的一点A有且仅有一条过A点的直线与直线m平行.

满足上述三个公理最少需要几个点？很容易得出是四个.如果是三个点A、B、C，因为没有一条包含C点的直线平行于直线AB,不满足公理3；如果是五个点A、B、C、D、E，因为有多于一条过C点的直线CD和直线CE平行于直线AB，也不满足公理3.这个有趣的例子促进了非欧几何的发展，由公理3引发了两种可能：(1)平面上，过直线外一点至少有两条直线与已知直线不相交.(2)平面上，过直线外一点不存在直线与已知直线不相交(平面上任何两条直线都相交).这就分别是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何(简称罗氏几何和黎氏几何).

在欧氏几何中，如果AC与BD没有公共点，它们是平行的.那么有没有一种几何有5个点是满足上述的三个定理的？由图2可知罗氏几何中的4-点几何AC与BD是平行的，5-点几何AB与CD平行并且AB与CE平行[7].因此，直观欧氏几何对4-点几何和5-点几何都形成了障碍，克服这种障碍是教师教育中重要的一步.

图2 4-点与5-点几何的例子

基于非欧几何可以得到一些结论：(1)三角形的内角和小于二直角，并且不是常量.(2)三角形的任一个外角大于其不相邻的两个内角之和.(3)三角形不一定存在外接圆……[8].证明这些定理不仅仅是一种挑战，而且能帮助我们意识到我们依赖常规学习的事实.我们不能仅限于书本证明，相信感觉，这些有可能导致错误.由此可知本文序言中1(a)、1(b)和1(c)三个例子在非常规的假设下也是正确的.

3 结语

改变常规假设，改变常规的思维方式对创造性思维的培养是有价值的.因为创造性思维的培养可以帮助学生看到人类创造数学的过程以及认识到人类是如何选择数学知识的常规性的，有时选择这种常规是为了方便，比如选择十进制；有时一个常规也可能是任意的，比如笛卡尔直角坐标系.做这些非常规的活动是非常有用的，比如普通体操训练是从前面不屈腿而用手触摸地板的，做这个活动实际上不是为了摸到地板，而是拉展腿部肌肉.同样地，构建不同进制的运算，目的不只是为了计算数值之间的所得值的差异，而是发展一种思维，一种问题解决的技能.计算机中应用二进制系统，布尔代数应用于开关电路，非欧几何用于地理学中.学习非常规的结构可以更好地理解和赏识常规，从而帮助学生构建较丰富较抽象的图示，同化更多的新知识.

参考文献：

[1] Zazkis R, Khoury H. Collegiate Math[J]. Educ,1994(1):195-224.

[2] Khoury H,Zazkis R. Studies Math[J]. Educ,1994,27:191-204.

[3] Leron U,Dubinsky E.Amer Technol [J].Math,1995(7):102,247- 272.

[4] Zazkis R,Whitkanack D. Int. J. Math Educ[J].Sci,1993,24:77- 83.

[5] Hanna G. Proceedings of PME 20 [J].In L Puig and A.Gutierrez (eds),1996(1):21- 34.

[6] Dubinsky E, Leron U,Dautermann J,Zazkis R. Studies Math[J].Educ,1995,27:267- 305.

[7] Zazkis R, Khoury H. Focus on L earning Problems in Mathematics[J].Educ,1993,15:38- 51.

[8]梁希泉.高观点下的中学数学几何学[M].长春:东北师范大学出版社,2000(7):84-86,94-101.