渗透数学思想 优化解题思路

陈秋东

所谓数学思想，就是对数学的知识和所使用的方法的本质认识，它从某些具体数学认识过程中提炼和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛用于相关学科和社会生活中。它对认知活动起着监控、调节作用，对培养能力起着决定性的作用。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，提高学生的元认知水平，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径；是数学教学改革的新视角；是进行数学素质教育的突破口，是优化学生解题思路的有效途径；是未来社会的要求和国际数学教育发展的必然结果。

一、渗透对应思想，训练解题思路

对应是人们对两个集合元素之间的联系的一种思想方法。对应思想，在解答分数应用题时经常用到。

1.量与量的对应：在应用题中也常见，如行程问题，客车的速度与所行时间对应于客车所行的路程，而货车的速度与所行时间对应于货车所行的路程。

2.数形对应：如教11～20各数的认识，教师可适时地在黑板上给出了一条数轴，借助数轴使学生对读数、写数、基数、序数、后继数等概念分得清清楚楚。

3.量率对应：这在分数应用题中十分常见，一个具体的数量对应于一个抽象的分率，找出数量和分率的对应恰是解题之关键。

4.函数对应。近代数学中，函数的定义是建立在集合基础上，它把变量与变量之间的函数关系，归纳为两集合中元素间的对应。

教学时要根据具体的问题进行分析，训练解题思路。

二、渗透假设思想，激活解题思路

在应用题教学中，有些题目按一般的分析方法往往找不到解题的思路，如果换个角度思考，做一个假设，问题就迎刃而解。如：小明有2分和5分的硬币共20个，币值是0.58元，那么其中2分和5分兵硬币各多少个？分析时可以这样想：假设20个都是5分的，总币值是1元，多出了0.42元，这是因为把2分的当作5分的来计算，每个2分的都多算了3分，0.42元里面包含多少个3分就是有多少个2分的硬币。我国古代的鸡兔同笼问题，和尚分馒头古题，牛顿的牛吃草问题也都是按假设思想解答的。

在一些计算中也可以用假设思想。如计算586-99，可以假设减去的是100，差是486，再把多减的1加上，结果就是487。在教学中渗透假设思想，能激活学生的解题思路。

三、渗透极限思想，体验解题思路

在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想。

例如，在循环小数这一部分内容，在教学1÷3=0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的。在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线是可以无限延长的。

再如，在“圆的面积”这节内容给出圆面积的求法：先把圆分成相等的两部分，再把两个半圆分成若干等分，然后把它剪开，再拼成近似于长方形的图形。如果把圆等分的份数越多，拼成的图形越接近于长方形。这时长方形的面积就越接近圆的面积了。这部分内容应让学生体会到这是一种用“无限逼近”的方法来求得圆面积的。教学时让学生动手剪拼，亲身体验“无限逼近”的解题思路。

四、渗透转化思想，优化解题思路

转化思想是未知领域向已知领域转化，因此，渗透时必须要求学生具有一定的基础知识和解决相似问题的经验。一般说来，基础知识越多，经验越丰富，学生学习知识时，越容易沟通新旧知识的联系，完成未知向已知的转化。例如：“除数是小数除法”是渗透转化思想的极好教材，教学中只要将除数是小数转化为整数，问题就迎刃而解。但将除数是小数转化为整数必须以商不变性质为基础，因此教学时先复习商不变性质。为除数是小数的除法转化成除数是整数的除法奠定了基础。例如，在学生掌握长方体、正方体的体积计算公式后，出示一个不规则的铁块，让学生求出它的体积。学生们顿时议论纷纷，认为不能用长方体、正方体的体积计算公式直接计算。但学生会提出，把它转化成已学过的图形，可以利用转化思想来计算出它的体积。通过小组讨论后，学生们的答案可谓精彩纷呈。

方法一：用一块橡皮泥，根据铁块的形状，捏成一个和它体积一样的模型，然后把橡皮泥捏成长方体或正方体。

方法二：把这个铁块放到一个装有水的长方体的水槽内，浸没在水中，看看水面上升了多少，拿水槽内底面的长、宽与水面上升的高度相乘得到铁块的体积。

方法三：还有更简单的，就是把铁块放到一个装满水的量杯内，使之淹没，然后拿出来，看看水少了多少毫升，这个铁块的体积就是多少立方厘米。

方法四：可以请铁匠师傅帮个忙，让他敲打成一个规则的长方体后在计算。

解决数学中的许多问题时，转化思想起着重要作用。通过转化，学生将一道生活中数学问题会形象而又创意地解决了。可以看出：学生掌握了转化的数学思想方法，从根本上说就是获得了自己独立解决数学问题的能力。教师潜移默化地渗透转化思想，让学生了解、掌握和运用转化的数学思想与方法，转变了学生的学习方式，优化了学生解题思路，开发了智力，提高了数学应用意识，发展了数学能力。

总之，数学思想方法来源于数学基础知识及常用的数学方法，在运用数学基础知识及方法处理数学问题、实际问题时，具有指导性的地位。在教学过程中，要有机地结合数学知识的内容，做到持之以恒、循序渐进和反复训练，才能使学生真正地领悟数学思想方法。重视加强对学生进行数学思想方法的渗透不但有利于提高课堂教学效率，而且有利于提高学生的数学文化素养和思维能力。