谈辩证数学观指导下的数学教学

曾素兰　曾素琼

数学观是人们对数学的本质和作用以及数学在科学、社会中的地位的认识与看法。数学观与数学教育有着密不可分的关系。关于数学观的研讨，则为如何开展数学素质教育和数学学习的分析提供了直接的基础。

一、数学的含义

有人认为，数学就是在中小学学习的算术、几何、三角，在大学学习的微积分、抽象代数、概率统计等等。这种简单地罗列不足以揭示数学的内在本质。数学家对此亦有各种不同的见解。“数学是智能的一种形式，利用这种形式，我们可以把现实世界中的种种对象，置之于数理概念的控制之下”。“数学是理解世界的一把主要钥匙”(里约热内卢宣言)。数学是“思维的体操”。上述精辟的论断，都是从不同的视角，表明了数学的特征。

然而，对数学素质教育最富有成效、最有指导和支持性观点的首推美国数学家斯蒂恩和著名哲学家、数学家怀特海的论断：“数学是模式的科学。”数学是对模式的研究，从某种意义上说，数学的概念、命题、问题和方法都具有模式的性质，实际上都是一种模式。“数学家们寻找存在于数量、空间、科学、计算机乃至想象之中的模式，数学理论阐述了模式之间的关系；‘……数学应用是利用这些模式对于适用的自然现象作出‘解释和‘预言”。数学家们是通过模式的建构，并以此为直接对象来从事对客观世界量性规律性研究的。

二、数学美的本质特性

数学美反映的是主体对数学对象深层结构及其相互间本质联系的认识。研究并揭示数学美的本质属性，利于树立正确的数学观，利于调动教学者、研究者研究数学的激情，激发学生学习数学的积极性。

数学美的本质特性有哪些?

1.逻辑真实性

凡具有数学美的对象，首先必须合乎逻辑。cos(A+B)=cosA+cosB，此式在形式上很美观、很对称，但不能说它具有数学美，因为在逻辑上是假的。

逻辑真实性具有客观、绝对的一面，因而数学美也具有客观、绝对的一面。数学美首先在于“真”，因真而美，因美而真。

2.形式化与抽象性

数学是一门形式化的科学，数学对象都是理想化的，如点、线、面、代数式、函数、群、环、域等。数学式子反映的内容都是抽象的、无实际意义的。正因为这种抽象性与无实际意义，才决定了数学应用的广泛性和数学方法的“万能”性，也才使得数学美可表现出超越现实世界的绝对完美，抽象性是数学的最基本的性质，抽象性是导致简单性与统一性的一个有效手段。

3.和谐统一性

形式化、抽象性的数学可以推出无穷多个正确(逻辑真实)的结论，但数学并不是全部正确结论的堆砌。事实上，数学中的一切对象、结论以及矛盾都是和谐的统一体。这就是数学的和谐统一性。此如，椭圆、双曲线、抛物线是三种截然不同的曲线，但是它们可统一定义为：平面内到一个定点与一条定直线(不过定点)的距离之比等于常数的点的轨迹。

对称美和奇异美其实正是和谐统一莱的特殊表现形式。大到数学学科之间，小到数学定理概念之间，和谐统一美是一切数学对象的共同属性。它揭示了数学中的普遍联系，是对客观世界的真实反映。

4.简洁性

数学美的简洁性表现在很多方面：

(1)数学真理具有简洁性。算术基本定理、代数基本定理、微积分基本定理等重要的定理的表达都是相当简洁的。再如，电子信息技术中广泛采用的二进制数码只有0和1，却可以表示任意大的数字。数学家常将简洁作为自己的追求目标，而简洁性也确实反映了我们的认识水平。

(2)数学的理论基础追求逻辑简单性。莱布尼茨创立二进制也是出于对简洁的追求，现在二进制成为计算机的基础。

(3)数学的简洁美促使数学家不断提出问题与解决问题。对数计算、自然对数的诞生即是这方面的典型例子。简单性也有助于促进数学的发展，因此我们有足够的理由认为，简洁性是数学美的一个本质属性。

三、数学观和数学教学

数学观对数学教学具有统摄力，它直接影响学生学习数学的态度，影响数学教师的数学思想。事实上，每个学生(每个数学教师)总是自觉、不自觉地在一定的数学观下从事自己的数学学习(数学教学)活动。数学观的不同必然导致数学学习(数学教学)的目的、方法、效果的巨大差异。如果一个学生产生了数学是枯燥乏味的、艰深难懂的、高不可攀的念头，必然会导致厌恶数学课、回避数学教师、不接触数学读物的自闭行为。如果一个数学教师认为数学是一系列定理、公式、法则、练习。那么他的课堂教学行为必然是注入式、满堂灌。学生学习数学则偏重于记忆和模仿，而缺乏对数学的理解。同样，如果把初等数学仅仅看成是一门演绎学科，必然会导致形式主义教学，培养的学生大多就会机械地套用各种数学定理、公式，但对这些内容却并不理解。由此可见，数学观直接影响数学学习观和数学教学观。

四、树立辩证的数学观，指导数学教学

辩证的数学观认为，数学是人类文明的一个重要组成部分。一方面，数学是各门科学赖于精确化的计算工具和科学技术的根基，是人类认识和改造世界的强有力的武器；另一方面，数学本身也是人类文化交汇、传承、积淀的产物，它是思想启蒙和思维训练的必修课程，又是各种哲学思想驰骋和交锋的逐鹿之地，从“文化学”和“数学哲学”这两个方面结合起来辩证地看，数学就是一种文化。在对学生进行数学素质教育的教学时，应既重视数学知识的教学，又重视进行数学文化的熏陶，要通过数学的思想和精神来提升学生的精神生活，塑造健全人格，培养科学文化人。

传统的数学观视数学为“知识体系”，是一种静止的绝对主义的数学观。辩证的数学观则是动态的、发展的和模式的数学观，它认为数学首先是一种探究的方法；数学主要被看成人类的一种创造性活动，数学知识是数学活动的产物；数学是一个由理论、方法、问题和符号语言等多种成分构成的复合体，是模式的科学。从哲学的角度概括，数学是分析与建构的统一，数学是形式与非形式的对立统一，数学是“知识成分”与“观念成分”辩证的统一；数学也是科学性与艺术性的辩证统一。

树立辩证的数学观是有效进行数学素质教育教学的必要条件。辩证的数学观指导下的数学教学，必然是注重对数学概念产生的背景、数学知识发生、发展的过程的揭示，向学生充分暴露数学思维活动的过程。注重数学思想方法的教学，重视发展学生广泛的数学能力(包括数学建模能力)，在教学方法上，必然重视运用启发式、讨论式，就会由传统的“传授知识”的模式转变为以激励学生为特征，以学生为中心的实践模式，从而调动学生的情感力量和参与教学过程的积极性。教师的任务就在于引导学生把所学内容经过消化，吸收到自己的知识体系以及整个精神世界之中，并内化为数学素质。

加强对学生数学观的教育，具体要贯穿在概念教学、命题教学和解题教学之中。应加强数学概念、命题与日常生活之间的联系，加强例题与生产实践之间的联系，使学生逐步认识数学与生活、数学与生产、数学与逻辑具有密不可分的关系。从而树立辩证的、动态的、模式的数学观。

现实生活中无处不用到数学，数字化是当代知识创新、技术革命以及人类文明进步的显著特征和强劲动力，它极大地拓宽了人们的数学观视野和加深了对数学内涵的认识，这就要求我们将数学教育教学置于历史时代的大背景下，紧紧把握数学与未来社会经济、科技发展的有机联系，充分考虑信息时代对未来公民的数学素养的需求，使数学真正服务于现代化，成为加速人类文明的有力工具。