的差分法求解研究

洪云飞

(长江大学期刊社,湖北 荆州 434023;长江大学信息与数学学院,湖北 荆州 434023)

洪云飞

(长江大学期刊社,湖北 荆州 434023;长江大学信息与数学学院,湖北 荆州 434023)

探讨了和式∑nx=1xm(x,m∈Z+)的求解,利用差分法求解了和式∑nx=1xm。研究结果表明，只要m为一有限整数，利用差分表可以快速求解出∑nx=1xm的求和公式，且仅仅只需要列出差分表的前m+2行。

和式；差分；差分表；多项式函数

对和式：

当n=1,2,3时有：

1 差 分

考虑多项式函数：

f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an

对x=0,1,2,…,计算f(x)并把这些值列成一行，称为第0行：

其中，bi=f(i)；i=0,1,2,…。

在下面一行，列出第0行的各相邻项之差，称为第1行：

其中，ci=bi+1-bi,即：

ci=f(i+1)-f(i)

记：

Δf(x)=f(x+1)-f(x)

则称Δf(x)为f(x)的第1阶差分。

类似地，可得到第3价差分，第4阶差分，…。

特别地，定义：

Δ0f(x)=f(x)

把对于x=0,1,2,…的函数值称为f(x)的第0阶差分。

2 差分表

无限地继续地每一行相邻之数列出新一行中：

这样排成的表称为f(x)的差分表，其中，bi=f(i)；ci=bi+1-bi；di=ci+1-ci；ei=di+1-di,…。

引理1[1]若2个多项式有相同的差分表，则这2个多项式相同。

引理2[1]设：

f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an

则f(x)的每n+1阶差分为0。

设：

f(x)=xm

其差分表的左边沿上为：

c0,c1,c2,…,cm,cm+1,cm+2,…

则由引理2知，cm+1=cm+2=…=0。即其差分表的左边沿上为：

c0,c1,c2,…,cm,0,0,…

设pi(x)是一个多项式，它的左边沿上为：

0，0，…，1，0，0，…

其中，1出现在此差分表的第i行，则：

c0p0(x)+c1p1(x)+…+cmpm(x)

的差分表左边沿上是：

c0,c1,c2,…,cm,0,0,…

又由于差分表的左沿确定了整个差分表[1]，故由引理1知：

f(x)=c0p0(x)+c1p1(x)+…+cmpm(x)

下面确定pi(x),i=0,1,2,…,m。

取i=3。即确定f3(x)的差分表为：

易知：

f(0)=f(1)=f(2)=0

由引理2知f3(x)的项数≤3，故设：

f3(x)=kx(x-1)(x-2)

又由f(3)=1,则：

即：

同理可得：

故：

从而：

4 算 例

解令f(x)=x5，则f(x)的差分表为：

于是：

故：

[1]杨振生.组合数学及其算法[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2006.

[编辑] 洪云飞

O157

A

1673-1409(2009)03-N007-03

2009-06-10

洪云飞(1979-)，男，2001年大学毕业，硕士，讲师，现主要从事应用数学以及期刊编辑方面的研究工作。