“中位数”教学纪实、反思与评析

王开杰　李　燕　芦　莉

教学内容:人教版5年级上册第6单元。

教学目标 :

1.在具体情境中认识中位数、学会求一组数据的中位数,理解中位数的统计意义。

2.体会“中位数”与“平均数”的各自特点,了解两者之间的联系与区别;能根据数据合理选择统计量。

3.感受统计在生活中的应用,增强统计意识,发展统计观念。

教学重、难点:

感受统计在生活中的应用,认识中位数,学会求一组数据的中位数,理解中位数的统计意义。能根据数据的具体情况合理选择统计量。

教学过程:

一、情境设疑,引出问题

1.谈话引入。

师:今天这节课我们要先去人才招聘市场看一看。这是一则贴出来的招聘启事,请一名同学来读一下。招聘业务员,同学们应聘工作最关心什么?

生:工资。

师:挣多少钱,很实际的问题。接着看。

课件出示:

甲公司:我公司职工的月平均工资是1 600元。

乙公司:我公司职工的月平均工资是1 500元。

师:你选哪家公司?

生:甲公司。

师:为什么?

生:甲公司的平均工资比乙公司的高!

师:你呢?

生:我选乙公司。

师:说说你的想法。

生:甲公司挣得多,可能干的也多。

师:这是你的想法。

2.观察辨析。

(课件出示两家公司工资详细报表。)

师:这是两家公司职工工资详细报表,仔细观察表中的数据,你有什么想说的吗?同桌之间先互相说一说。

甲公司职工月工资报表

乙公司职工月工资报表

生:这回我选乙公司。

…………

师:为什么又都变了?

生:乙公司好些,7个人的工资都在1300以上,甲公司只有1个人。

生:应聘业务员显然乙公司要好一些。应聘经理我就选甲公司。

师:甲公司的平均工资比乙要高,可一般水平却远不如乙公司,根本原因在哪呢?

生:甲公司的经理挣得太多。

生:因为这里的经理工资把一般水平提上去了。

师:像4 200这样在一组数据中出现的严重偏大或严重偏小的数据我们把它叫做极端数据。(板书。)当出现极端数据时,我们使用平均数作为数据一般水平的代表就——

生:不合适。

师:那么用谁来代表这一组数据更合适呢?请同学们比一比,试着从这组数据中找出一个更合适的来。

【设计意图:本环节的设计重在通过生活中的例子,制造学生认知上的矛盾冲突。让学生充分地感受到生活中可能存在的平均数误导现象,继而激发学生探索新的数据代表的兴趣,为学习与探究新知作铺垫。】

二、学生探究,认识新知

1.师:好,谁来说一说你选择的是哪个数?

生:我选1 200。

师:为什么选1 200?

生:1 200在最中间。

生:1 200不大也不小。

生:我选1 300。

生:我也选1 300,因为1 300更接近于1 600这个平均工资。

生:我也选1 300,因为4 200太大了,而其他的又太小。

师:的确,像大家所发现的那样,这里用1 200代表这组数据的一般水平更合适。一组数据按顺序排列最中间的一个数,我们把1 200叫做这一组数据的中位数。(课件出现中位数。)今天我们就来学习中位数。(板书——中位数。)

师:知道了什么是中位数,下面我们就来做几道找中位数的练习。

【设计意图:这里的设计重在通过统计图直观形象的演示,引导学生发现数据的特点,进而加深学生对于中位数所表示的统计观念的再认识。开放的交流与研讨的空间是这一环节教学意图达成的关键,而教师针对性、策略性的引导也必不可少。】

2.找中位数。

师提要求:打开练习纸自己解答,遇到问题可以举手示意老师,也可以在小组内交流。

(1) 44、 38、 30、 28、 24、 22、 20

(2) 5、 10、4、13、 15

(3) 26、22、16、13

(4)15.8 、16.4 、16.8 、19.2

师:谁来说一说,大家注意判断。第1题。

…………

师:第2题。

生:4。

师:有不同想法,你说说。

生:应该是10,因为在找的时候要按顺序排列,再找中间的数据。

师:你同意吗?大家呢?

师:接着看,刚才有的同学在第3题遇到问题了。谁来说说你的问题。

生:这里面是4个数,没有最中间。

师:其实能发现问题,大家已经成功了一半。

生:我选16,更接近于中间。

生:我说18,因为没有中间的一个数,而18差不多大。

生:中间有两个数,可以求它们的平均数。(板书。)

师:通过刚才找中位数的练习,你对中位数又有了哪些深入的认识?

生:找一组数据的中位数,要先把这组数据按大小顺序排列。

生:按顺序排列后,中间的一个数就是中位数。

生:中位数正好把这组数据分成了两部分,左右两边数的个数一样多。

师:会学习的孩子一定是一个善于总结的孩子。

三、比较促思,深化新知

师:我们还是回到前面的例子中来,甲公司工资中出现了极端数据,我们选择中位数1 200来代表其工资一般水平。那乙公司呢?

生:中位数。

师:乙公司的中位数是多少?

生:1 500。

生:这里的中位数和平均数都是1 500,所以哪个都行。

师:中位数与平均数相同或相差不多的原因在哪呢?

生:这里没有太大或太小的数据。

师:当一组数据之间相差不是很大时,我们说这组数据呈现的是一种正态分布,这时用哪一个来做代表都可以。

师:那么在比较公司工资情况时,我们应该怎样做呢?

师:随着学习逐步深入,我们不难发现数学知识在生活中的应用还有很多。

四、综合运用,拓展新知

1.身高中位数。

师:举个例子,请这5名同学到前面来站好。该用什么数来代表这5名同学的身高的一般水平?

生:平均数。

生:中位数。

师:为什么呢?

生:因为同学们之间的身高相差不多。中位数与平均数也会差不多。

(师请回1名同学,自己加入进来。)

师:现在我们5个人身高的一般水平用什么数来表示更合适?

生:中位数。

师:为什么?

生:因为老师的身高是一个极端数据。

(师蹲下。)

师:我的身高现在只有这么高。

生:中位数。

师:又是为什么。

生:因为老师的身高又成为了一个极端数据。

2.成绩中位数

师:李静同学的1次数学考试的成绩是55分。(生笑。)

师:怎么你叫李静!纯属巧合。那我们改一下,换下角色,王开杰同学的1次数学考试的成绩是55分,请各位老师来评价一下王开杰的学习水平。

生:学得不怎么样。

生:成绩不太好。

师:下次我一定努力。

生:我觉得一次没考好,不能就说学习不好,也可能是因为其他因素,还应该多看几次考试。可能只是你这一次没考好。

师:贵姓?

生:我姓*。

师:*老师,知道为什么和你握手吗?

生:不知道!

师:能遇到你这样的好老师我太幸福了!

师:(出示5次数学考试的成绩。)一次考试定终身,一张试卷说成绩的评价方式应该改革。这是我5次数学考试的成绩93、96、94、97,第5次考试由于生病带病坚持考试所以只得了55分。

师:下面请大家看要求,完成习题二。该用什么数值来评价一下李华的学业水平。自己想想、算算。

(学生计算、汇报,交流选择的理由。)

生:平均分是87分,中位数是94分。

生:应该用94分代表,也就是中位数。

生:首先我们先把数据排一下序,97、96、94、93、55(板书),中位数是94。为什么呢?因为这里有个极端数据55,它会拉下平均分。

生:老师我认为应该用93分,因为平均数太低了,而94又高了些,而93更接近于平均数,也不会太高。

师:这是你的想法。但在出现极端数据的情况下我们一般采用中位数。

师:刚才我看到一位同学的方法是这样的。他是先去掉最低的55分,然后又去掉97分,你是怎样想的?

生:我是先去掉最高分又去掉最低分,再求平均数的方法。因为歌唱比赛就用这样的方法。

师:你是一个留心观察的孩子,这种方法在生活中的一些比赛评分应用十分广泛,叫做去尾平均数,其实它恰恰是中位数与平均数优点的综合。先去掉极端数字,再考虑剩余数字。

师:如果最后一次的考试的分数发生变化,中位数会发生变化吗?小组4个人交流一下。

生:大于94分中位数就变,小于或等于94分中位数不变。

师:其实恰恰是中位数受数据变化的不是十分敏感,所以有时候我们会采用它来做数据的代表。

3.年龄中位数。(机动练习:思考我国国策和社会发展进步问题。)

【设计意图:上面习题的设计,重在体现数学知识源于生活又应用于生活的教学理念。学有所用的基础上更关注问题的生成性,生活数学中知识的延展性(即潜移默化的统计观念的理解与再认识)及师生的互动性。还有一点就是关注统计知识、数学思想对于社会的更广泛影响。】

结语:同学们,无论是今天我们认识的中位数,还是以前学习过的平均数,还有去尾平均数其实都只是一种数据代表的方法,一个看问题的角度。面对纷繁复杂的事物还需要我们擦亮眼睛、小心选择,具体问题、具体分析。

反思:

什么是成功的一节课?一千个人眼中可能有一千种成功的样子。别人眼中的成功与否,终究是外在的评价,内心的定位才更应成为成功又或是下一次成功的标尺。这里自己对这节课下不成功的定义主要源自于自我预设与实际生成的较大差距,理想与现实的心理落差,还有更多的那就是对于知、行难于统一的困惑。

·客观因素

如果从课堂教学的角度来讲,教师、学生、教材(教学资源)显然是最重要的组成部分,形同三角形的三条边又或是三个角,相互依存、相互联系、缺一不可。但要从教师反思的主观角度来讲,自然又要把学生与教材化为客观因素。表述这些不是为课堂效果的不理想而开脱,更多是找寻问题、力求解决的一种思考,也算是一种认真对待科学的态度吧。

知识背景:“中位数”人教版5年级上册内容(新加入的内容),是在学生学习了统计表与条形统计图和平均数统计量的基础上引入的。但不知道它在小学阶段的存在是不是仅仅是昙花一现,因为据传课标修订稿中又准备再将其调整回第三学段。

知识应用与学生定位:较平均数的普遍应用与在大多数人心目中的根深蒂固相比而言,中位数这一统计量就显得鲜为人知,少有人用。由具体形象的一组数据再到抽象到选择一个数据作为代表,这显然和学生心目中对于全员参与的总数与平均数的思维难度是不对等的。学习者须要经历一个反复的比较、辨析、取舍甚至是强化的过程,更难的是这看似打破旧有观念(平均数),实则只是开启一扇新窗的过程,要做到具体问题具体分析,合理的选择数据的代表来解决问题的最高境界着实不容易。

以上的分析在教学预设时我就有了较清醒的认识,但对于这样一个内容的存在就一定要面对。如何把认识到的困难转化为合理、高效的教学行为就成为了解决问题的关键,这一点自己的确做得还不够、想得还是不够深入,从而也就产生了一些问题。

·主观因素

教学策略的选择:面对前面自己是有预见的客观因素,自我的重视不够,所以在策略的选择上更多地追求自主、探究的新型学习方式,结果反倒是画猫不成反类犬,在学生苦思无果的情况下反倒还要不断地引导、提示。

例如:在对待极端数据出现的甲公司的这一组数据,平均数已经不能很好地说明问题时,让学生自己再来选择一个数据(中位数)作代表的环节。

我的处理是完全放手让学生去交流寻找,期望学生能够选择1 200,但在学生实际的分析比较中,学生却很难达成一致选择1 200,有不少学生会选择1 300或1 250,与学生交流时他们也提到了选择其他数据是因为更接近于平均值,这里面的学生显然是受到了表象上的极端数据以及旧有的平均数的认知的影响,当然这里面还有学生对于“一组数据选用一个数据来代表”的理解上的困惑与认知难度。

而当面对学生选择其他数据不小的呼声时,教师就必须要引导、讲解,或者更多的还是纠正,再让学生分析数据所处的位置,比较前后的个数。可以说这样的一个放的环节,不但没起到探究、发现的培养,反而是事与愿违,造成了学生对于平均数更多的关注。面对这样的情况我自己也在思索,对学生理解认识上的难度,如果先给学生结果(中位数),再引导其思考选这个果的原因,是不是这样的与探究更有实效与针对性。这也未尝不是一种思路。

又如:找中位数的练习26、22、16、13。

面对偶数个数据时学生找中位数遇到了困难,我也一味地开放,期待学生自己得出并说出方法,反复提问无果,学生也有些不知所措,而面对答出的学生又像是救命稻草一样牢牢抓住。其实莫不如适时地讲解直接引入求中间两数平均数的方法来。

调动能力的缺失:面对陌生的会场,有些怯场的学生,枯燥的数据,显然这一切已经远离了熟悉温暖舒适的自我课堂,及时地调整与调动就显得至关重要,这不仅是对学生的,更多需要的是来自于教师自身。理性的课堂决不排斥充满感染力的语言与激情的心,数学的思考更会因此而生动多彩。而这堂课自己在这方面表现的缺失也必然造成了后面课堂更加举步维艰。

自我目标的定位:“力求呈现自己对于数学课堂的思考,拓展数学思维的广度与深度,注重学生数学思想与方法的培养与训练。”这都是我努力想通过课堂实践去诠释的,继而自然在自己的设计中就纳入了更多、更高的期望。在中位数学习的第一课时,在基本目标的基础上自己又附加了诸多思考“要培养统计观念、要尊重事实、要用数据说话、看问题不可绝对化,事物发展有规律更要承认个案……”当一切变得都重要时,一切也就都不重要了,本来简单的事物被赋予众多复杂的使命时,它也就连基本的使命都没有了。

课堂的达成与期望,显然不应该只建立在一个教师的角度之上,真正的落脚点显然应该是学生知识经验与认知水平以及知识的循序渐进与水到渠成。

知难、行难,统一更难。面对这些,路还很长……

教学评析:

王开杰老师执教“中位数”一课,我首先钦佩他的勇气。很多教师对中位数都会感到陌生,更不要说学生,对于这样一个学生旧有知识经验甚少的教学内容,教师应如何进行有效教学是我们之前网上讨论最激烈的部分。互动的过程中,王老师在《没有最好,只有更好》一文中反思到统计教学突出的是数据的统计意义,即在数据分析观念中,就是没有绝对意义上的对和错。不是学习了新的数据代表就否定其他的数据代表。在现实生活中用中位数也可以,用平均数也不算错,只是多给学生一种思路,换一种看问题的角度。这样就模糊了“中位数引入必要性”的认识,同时也加大了教学的难度。所以,中位数教学的突破,并不在于以何种方式教学生学会选取中位数,而在于让学生理解“为什么有极端数据时,描述一组数据的一般水平,中位数比平均数更合适”。

应该说,王开杰老师采用两个教学策略很好地解决了这个问题。

1.对比策略。

王老师提供给学生的学习素材比教材的更适合学生的学习,富有挑战性的问题随着情节的发展,一环紧扣一环地不断生成。他将求中位数与平均数的方法融入一个情境之中,随着两个公司员工工资的发展变化,自然引出中位数的概念。课始精心创设招聘广告为主线的情境贯穿在新课内容之中,先给出平均工资,让学生据此选择哪个公司好。在旧有知识的基础上,学生一定自然倾向于平均工资高的公司,然后再呈现具体数据,通过观察、比较,学生自然会引发强烈得认知冲突,用平均数衡量工资显然不精确。通过追问“当一组数据中出现个别严重偏大的数时,平均数会受到影响,变得比较大。在这种情况下应聘时,把平均数当做工资一般水平的代表不合适。那么用谁来代表更合适呢?”学生通过比一比,找一找,产生认识新的统计量的欲望,感受到平均数在实际应用中的局限。在这里面平均数与数据之间的矛盾,以及引入一个新的数据代表中位数需要,王老师都强调的十分突出。我认为这样设计是把对中位数的认识建立在中位数与平均数的比较之上,学生在“确信——惊诧——质疑——释然”的情感的跌宕起伏中经历错误和辩证,体验知识生成的历程,建构了“有极端数据时,用中位数代表该组数据的一般水平比平均数更合适”的理解,同时可以更清晰地认识到两者各自的特点,从而对其有更加全面的把握,使学生真正地做到了知其然又知其所以然。王老师在练习环节也注重了比较的数学思想的渗透,如通过老师的直立与蹲下的比较身高中位数,平均数与中位数区别的对比练习,使学生清晰地理解到应用哪个统计量来表示身高水平。

2.数形结合。

在呈现两个公司的工资具体数据后,王老师把统计表与条形统计图结合起来呈现,充分利用了条形统计图的直观性开展教学。王老师结合条形统计图让学生观察。学生能清晰地发现甲公司的经理工资特别高,把平均工资抬高了,用平均工资来代表这个公司的工资一般水平已经不太合适。有了条形统计图,学生对数的感觉会变得直观起来,为后面深入理解中位数的适用范围打下了基础。

另外,王老师的现场调控能力很强。如:临时更改学习素材中的人名,针对学生的回答进行发展性的评价,都可见王老师的教学功底扎实深厚。

再成功的教学也不会是十全十美的,我们无法预知现场的生成。这里有一个问题想与王老师进行商榷:在教学数据出现偶数个时应如何求中位数的环节时,学生通过讨论后总结方法,一名学生汇报说:这个方法是与王老师交流后得知的。我想这个问题是不是全班共性的,如果是可不可以先请学生大胆地猜想,充分暴露学生的思维后,再由老师引导求法;或引导学生自学教材,由学生自主学习这部分知识是不是更好?

瑕不掩瑜,最后让我用吴正宪老师的一句话结束本次的评课,同时我也把这句话送给所有的数学老师:做夯实知识基础的教师,做教出数学味道的教师,做教出数学品位的教师,做教出数学境界的教师,做教出人文精神的教师。