在数学教学中发挥数学名题效应

黄　娈

从古到今，各种类型的数学问题，内容精彩有趣，构思巧妙，深刻地反映了某种数学思想和数学方法，引导和促进了数学的发展，有流传和鉴赏价值，更有数学教育的价值.因此，对数学名题进行系统研究，探索其历史地位和影响，古为今用，会对当前数学教育改革有重要意义.

人类学和心理学的研究表明：在人的心灵深处，有多种根深蒂固的需要，那就是探究的需要、获得新体验的需要、获得认可与欣赏的需要、承担责任的需要等．而在青少年的精神世界里，这种需要尤为强烈．现在的初、高中数学课本渐渐出现了一些数学名题，渗透了数学名题的解题思路及其解题方法，但就数学名题的效应来说，从中学生的心理需要出发，教材中渗透的内容还远远不够.教师在课堂上或课后适当介绍一些数学名题，既可以激发学生学习数学的兴趣，又可以加深学生对教学内容的深刻理解，达到事半功倍的效果．经过这两年的教学实践，笔者尝试在课堂教学发挥名题效应，收到了一定的良好效果，也积累了一些经验.

一、引入新课采用数学名题导入法

在讲等比数列求和公式时，笔者一上课就向学生讲述“国际象棋发明者报酬”的故事：国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子放1颗麦粒，在第2个格子放2颗麦粒，在第3个格子放4颗麦粒，在第4个格子放8颗麦粒，依此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的2倍，直到第64个格子．请给我足够的粮食来实现上述要求．”国王觉得这并非难事，就同意了.这实际就是个等比数列求和问题：各个格子里的麦粒数依次是1，2，2²，2³，…，2⁶³，则总数就是1+2+2²+2³+…+2⁶³.该故事激发了学生强烈的兴趣，课堂教学效果非常好.

二、通过数学名题介绍解题方法

在学习等差数列的前n项和时，笔者向学生介绍的是中国一道记载在《张丘建算经》中的“有女不善织”的古代算术题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何?”意思是；有位妇女不善织布，她每天织的布都比上一天要减少一些，减少的数量是相等的，她第一天织5尺，最后一天织1尺，一共织了30天，一共织了多少尺布?该题的难点在于除了第一天和最后一天，中间每天织的布都不是整数．《算经》上记载的解决方法是“并初、末日尺数，半之，余以乘织讫日数，即得．”意思是：把第一天和最后一天织布的数目先相加再除以2最后乘于30．实际上我们可以运用对称的思想这样理解：假设有另一位姑娘与这位妇女织布的情况刚好相反，姑娘每天织的布都比上一天要增加一些，增加的数量是相等的，她第一天织1尺，最后一天

织5尺，也织了30天，由此可知，两人所织布的总长度是相等的，且妇女织布每天减少的数量与姑娘织布每天增加的数量是相等的，因此每天两人共织的布为6尺，三十天共织6×30=180尺，则每人织90尺．解法的巧妙之处在于将抽象的一组等差数列求和转化为形象生动的形似回文数一般的对称求和方法，运用对称的思维来理解等差数列求和比单纯推导求和公式要形象、生动得多，这种朴素直观的算法是特别容易被学生体验得到的，这样一来，得到等差数列的前n项和公式那是很自然的，而更主要的是让学生体会到了“类比”这种重要的数学思想方法.

三、把数学名题作为例题

在学习组合时，笔者向学生介绍了“合理分配赌金问题”．这个问题最早由意大利数学家帕乔利于1494年记载：假如在一次赌博中先赢6次为胜，两个赌徒在一个赢5次，另一个赢2次的情形下，赌博因故中断，那么总赌金应该如何分配才合理?帕乔利给出的答案是按5∶2分给两个赌徒，似乎很合理，然而正确的答案应该是15∶l，是100多年后由帕斯卡和费马得出的.帕斯卡用的是算术方法，如果赌博进行下去，最多再有4局就决出胜负，设第一个赌徒赢为[WTBX]A，第二个赌徒赢为B，则所有可能的结果为AAAA，AAAB，AABA，ABAA，BAAA，AABB，ABBA，ABAB，BABA，BBAA，BAAB，ABBB，BABB，BBAB，BBBA，BBBB．显然，第一个赌徒有15种情形获胜，而第二个只有1种情形获胜，则赌金应按15∶1分配.费马使用的是组合方法，4局中第一个赌徒赢一局、二局、三局或四局均为胜，第二个赌徒只有赢四局才为胜，因此应按（C¹₄+C²₄+C³₄+C⁴₄）=15∶1分配赌金.学生可以应用所学过的组合知识比较容易地解决这个看似普通却在当时大大促进了概率论发展，使之成为数学科学的重要分支的问题．

从数学教育看，由于数学本身具有高度的抽象性，严密的逻辑性和广泛的应用性等特点，因此，在教学中只单纯地讲解定义、定理和公式，很难取得理想的效果，在中学数学教学中引用数学名题可以增强学生的好奇心，激起学生学习数学的兴趣，还可以加深学生对数学知识的理解与应用．

参考文献:

［1］单蹲.数学名题词典［M］.南京:江苏教育出版社，2002.

［2］李艳红.数学名题与数学教育［M］.沈阳:辽宁师范大学，2004.

［责任编辑：廖银燕］