数学奥林匹克教育

蒋邕平 吕德清

摘要：数学奥林匹克教育已成为国际公认的教育活动，随着这种活动的发展，逐渐形成了一门特殊的数学学科——数学奥林匹克，认识数学奥林匹克教育的教育价值、理论依据、体系特征、主要研究内容和问题特点；妥当确立数学奥林匹克教育的教学定位，把握其教学要求，科学实施其教学方略，可促使数学奥林匹克教育健康、有序地发展，

关键词：数学奥林匹克教育研究

数奥竞赛已成为国际公认的教育活动，从小学、中学到大学，参赛人数之多、范围之广、试题难度之高等均不比体育中的奥运会逊色，在国际奥竞赛中，中国学生的成绩已得到举世公认，进入新世纪，面临新挑战，如何继续使中国的数奥事业漫步在繁荣发展的康庄大道上?这是摆在有志于这一事业的同仁面前的一个重要课题，事业要发展，一方面要整体有序性地加强，另一方面要局部自主性地发挥，数奥事业整体有序性得以加强要靠数奥理论的深入研究并完善其体系，其自主性的积极发挥也要卓有成效的数奥教育为基础。

一、数学奥林匹克的教育价值

数奥对发现人才、选拔人才、培养人才发挥着重要的作用，当今所有经济大国和科技大国，无一例外地都是数学强国，数学竞赛的开展，肩负着发现和培养优秀人才的重任，一个数学人才的培养一般分为两个阶段：一是早期的未定型阶段，另一个是选定数学为职业后的学习和研究阶段，这两个阶段的培优教育都是重要的，一些世界著名数学家，除了他们的天赋之外，早期得到“伯乐”的指导的例子是很多的。

数奥强化了能力培养的教育导向，培养了学生开拓探索型的智力和能力，开拓探索型的智力和能力依赖于开拓探究型思维方法的掌握，竞赛数学的内容是以研究解决问题为主的开拓探究型认知体系，要求人们注重智力的开发与能力的发展。

数奥从本质上激发了学生对科学的浓厚兴趣，数学竞赛题从结构到解法都充满着艺术的魅力和诱人的趣味，它吸引人们去进行积极的探索，而在探索中又亲自体验到数学思想的智慧光辉和数学方法的创造力量，更进一步产生向往感。

数奥活动有利于学生形成发展的认知结构，竞赛活动具有发展性和研究性，发展性是其时代特性，研究性是其内容与价值特性，求解数学竞赛问题没有例题，没有现成的解题程序，需经自己研究，独立去发现，在学生的认知体系中，注入独立学习、独立研究、独立发展的新的认知元素，使他们受到现代数学思想与文化的熏陶，为其认知结构的进一步更新与发展奠定良好的基础。

数奥造就学生追求科学发展的百折不挠的心理品质，解竞赛题需要的是意志坚强者，而淘汰意志薄弱者，参加竞赛使他们体验到：没有艰辛，就没有成功。

二、数学奥林匹克的体系特征

数奥是基础性的综合数学，数奥植于中学数学，锤炼了数学的重要内容，许多竞赛题目与中、小学数学课本中的例题、习题有一定的联系，有的甚至是课本例题、习题的直接延伸、发展和变化，数奥以传统的初等数学的内容为起点，逐步加深难度，不断淘汰一些较陈旧的内容，同时挖掘传统内容的精华并加以改造，注入新的表现形式，用新的数学思想和方法重新处理，逐步增加现代数学内容，渗透现代数学的思想和观点，并且使所涉及的问题大多可用较初等的方法解决，它服务于培养数奥选手及教练，服务并服从数奥的发展，它是一种大学数学的深刻思想与中、小学数学的精妙技巧相结合的基础性综合数学。

数奥是发展性的教育数学，数奥教育从一定意义上说是某种数学教育实验，对中、小学数学教育的改革产生巨大影响，通过竞赛，较新的数学知识逐步普及，在这个普及过程中许多现代数学的新思想、新方法、新内容，不断地影响中、小学数学，从而促进数学课程的改革。

数奥是创造性的问题数学，数奥通过一道道千姿百态的问题和机智巧妙的解法，横跨传统数学与现代数学的各个领域，人们常以“内部生成”(即剖析已有问题，做出实质性改造、推广或迁移)和“外部嵌入”(即将较高层次的数学研究成果，经过加工创造而成)的创造方式命制出竞赛试题。

数奥是富于挑战性的活数学，由于众多的数学家直接参与数学竞赛活动，同时更由于竞赛本身的机制，使得数奥具有很大的开放性、发展性、挑战性，现代数学某些分支的发展，往往很快影响到数奥的发展，例如，组合几何这一既古老又新颖的分支在20世纪70年代后发展很快，形成了绚丽多彩的理论，在数学竞赛中，这类问题也逐渐受到重视，因此，数奥的发展也体现了数学的发展。

三、数学奥林匹克教育的理论依据

“最近发展区”是前苏联心理学家维果斯基在揭示教育对数学个体的发展起主导和促进作用的规律时提出来的，他认为促进学生个体的发展首先要确定其发展的两种水平，一种是现有的已经达到的水平，表现为学生能够独立解决的智力任务，另一种是在有指导的情况下，借助于他人的启发和帮助可以达到的较高水平，这表现在学生还不能独立完成解决某些任务，但在他人的帮助下，在集体活动中，通过模仿就能够解决这些任务，这两种水平之间的差距，就是“最近发展区”，维果斯基的理论对于学校教育的最重要的启示是：最佳的教学效果一定产生于“最近发展区”，可见，宜重视在教学中发展学生的潜力，而不仅仅局限于他的发展水平之内，这一观点在原则上对数奥教育具有很大的启发意义，数奥教育在学生个体发展中具有加速发展的特殊功能，在确定了学生的“最近发展区”后，数奥教育往往走在学生现有发展水平的前面，从而更加明显有效地带动学生的发展。

“超前、超常”是数奥的最大特点，数奥的高难度、高要求形成了学生学习的“最近发展区”，它是侧重于学生创新能力倾向的测试，这种创新能力是逐步形成的，不同层次的学生，由于其成绩、智力、能力有差异，因而他们的“最近发展区”也不同，数奥教育要求充分发挥学生的主体作用和老师的主导作用，把握好“火候”，指导学生尽量完成“最近发展区”内的题目，促使学生迅速发展和提高，从而利用“最近发展区”，促使学生的创新能力产生质的飞跃。

四、数学奥林匹克教育的教学定位

数奥教育从本质上讲是中小学数学教育，其教育对象是中小学生，其教育载体是不超过中学或中学生所能接受的数学知识；如果对数学教育按照“因材施教”的原则进行分层，那么可以分为循序渐进的三个层次，第一层次为最基本的数学知识和技能教育，它为劳动后备军打下最基本的数学基础，这是最低层次，大致相当于毕业过关水平，不妨称之为过关教育；第二层次是高一级学校的预备教育，它为将升入高一级学校的新生打下较坚实的数学基础，不妨称之为升学教育或预科教育；第三个层次是为了培养高新技术的高级后备人才而进行的培优教育，不妨称之为英才教育，在不同的历史时期，这三个层次的水平及表现形式有所变化，在今天“现代化在某种意义上说，就是数学化”，“高新技术在本质上是一种数学技术”的形式下，在人才激烈竞争的世界上，

确立数奥教育在基础教育中的地位具有战略的意义——奥运战略，因此，进入新世纪，数奥教学应是中学数学教育的组成部分，是基础教育的完善与补充，不应把它看成单纯的业余教育，更不应把它与过关教育、升学教育对立起来，要妥善处理好三个层次的关系，同时，笔者也认为：任何事情都有个度，超度就会走向反面，应当根据学生的学龄、学段、学情妥当确立数奥教育对一个学生、一个学校的教育定位，并且应当与现在开设的数学活动课程、数学研究课程、数学应用知识竞赛等有机地结合起来，这样将极大地促进我国中小学数学教育的发展。

五、数学奥林匹克的主要内容和教学要求

深入研究数奥所涉及的内容可知，目前已基本稳定的代数、几何、数论、组合等方面，另外，我们要注意到数奥内容的两个方面，一方面数学竞赛是才智的角逐，因此，一些有固定路线可以遵循的问题，不属于数学竞赛，竞赛需要的是“巧”，是出奇制胜的“野路子”，竞赛促进中学数学加强薄弱环节，而每当一种方法越来越多地为中学教师与学生所掌握后，它也就完成了自己的历史使命，并脱离了数奥，成为中学数学的一个部分，另一方面将高等数学下放到初等数学中去，用初等数学的语言来表述高等数学的问题，并用初等数学的方法来解决这些问题，这就是竞赛数学的任务，因此，数奥吸收了能用初等语言表述，并能用初等方法解决的高等数学中的某些问题，这里的问题、甚至解法的背景往往来源于某些高等数学领域，渗透了高等数学的某些内容、思想和方法，但数奥又不同于这些数学领域，另外，数学往往追求证明一些概括广泛的定理，而数奥恰恰追求一些特殊问题，而不需要高深的数学工具，这些问题往往可以从思考角度、理解方法和解题思路方面推出一种广义的认识，深入研究数奥的主要内容，更要认真钻研《数学竞赛大纲》，当然，随着新的数学课程标准的制定，竞赛大纲也可能进行修订，但制定数学竞赛大纲是我国数奥活动的创造，也是我国数奥深入发展和日益成熟的标志，数学竞赛大纲的制定是方兴未艾的数学竞赛活动进一步规范化的标志，因此，竞赛大纲是数奥培训的依据、命题的依据。

六、数学奥林匹克的试题特点

根据数奥的体系特征，数奥试题的命制应遵循科学性、新颖性、选拔性、能力性、界定性等原则，因而，数奥的题目风格迥异，各具特色，涉及知识领域宽阔，思维方式新颖，认识试题的主要特点，可以为我们在数奥教育中科学实施教学方略指明方向。

新颖性与选拔性：竞赛题中有不少称为“适应性”的试题，这种题往往是新定义一个概念：如新定义一个函数、一个集合、一个数列、一类数；新定义一种符号、一种运算法则或者给出处理问题的规划和要求等等，然后要求参赛者按新给的定义解题，或者设计出方案或给出实施方案。

开放性与探究性：为了考查参赛者的探究能力，某些试题呈现出各种情形的开放性，如只给出条件，而结论隐而未白，或指出一个探索方向和范围，结论需自己探究后做出判断。

背景性与前沿性：竞赛题的很多题材，凝结了不少优秀数学家的心血和智慧，是某些高等数学或前沿领域的问题、方法，通过“初等化”、“特殊化”、“具体化”等移植而来，而且调动和活化了初等数学中很多潜在的知识、方法、原理，有重要的背景。

艺趣性与竞技性：很多竞赛试题把现代化的内容与趣味性的陈述、独创性技巧有机结合起来，充分展现艺术的构造或构造的艺术，竞赛试题常常又以其题型新、知识面广、解法灵活、技巧强、难度大以体现竞赛性质。

七、数学奥林匹克教育的教学方略

数学竞赛是一种特殊形式的考试，因此数奥教育应防止应试教育的倾向，避免采用应试教育的教学方略，

激发学习数学兴趣，提高学习的主动精神，是数奥教育的一条指导原则，如果教学与训练工作不考虑不断激发学生的兴趣和能力水平，长时间的高难度训练会产生反作用，产生疲劳情绪，甚至导致思维混乱，变成学生的沉重负担。

要注意培养良好的数学认知结构和进行广泛迁移的能力，现代教学论中，布鲁纳强调“学科知识结构”，瓦根舍因注意通过范例使学生掌握一般原理，形成结构性知识，说明数学知识达到结构性的认识是非常重要的，知识不形成结构，也就不能进行迁移，为了培养学生良好的所学认识结构，不仅要注意局部，更要注意整体，还要注意过程，应使常规数学教学与竞赛培训教学有机地结合起来。

突出数学思想方法，强调在理解的基础上创新，现代教学论强调理解学习内容的本质特征，使新旧知识建立起本质的非人为的联系，才能灵活地运用已有知识和经验，解决问题，发现问题，数奥教学在一定意义上是以解竞赛题为中心的教学，如果孤立地处理问题，不注重问题的背景和相关的知识系统与命题系统的关系，便不会收到锻炼学生思维的目的，因此，必须突出数学思想方法，在把握问题、解决问题的基础上有所创新。

利用交往的功能发挥智力群体的作用，现代教学论，特别是交往教学论与社会心理学，都十分强调环境与交往对人的发展的影响，由于参加数奥培优的都是数学学习较好的学生相对集中的智力群体，每个人都有自己的长处，强中自有强中手，一山更比一山高，每个人都可以找到自己的参照进取目标，应适当地组织探讨式教学，以形成师生、学生间的多向信息交流，发挥互补式交往功能，促使解题思路更加优化，知识理解更加透彻，创新精神更加开拓。