一题十九变

张海峰

高三复习阶段，题目浩如烟海，为了摆脱题海战术，我们可以采取一题多解、一题多变、多题归一等方法，轻松愉快地复习。下面笔者介绍一例一题多变的问题供大家参考。

题 目 如图1所示，斜面体固定在粗糙水平面上，斜面体的倾角为θ，斜面上放一物块，重力为G，处于静止状态。则下列说法正确的是（）

A． 斜面对物块的作用力大小为G，方向竖直向上

B． 斜面对物块的作用力大小为Gcosθ，方向垂直于斜面向上

C． 斜面对物块的作用力大小为Gsinθ，方向平行于斜面向上

D． 物块受到的合力为零

解析 物块受到三个力的作用，重力、斜面对物块的支持力（大小等于Gcosθ）和斜面对物块的摩擦力（大小等于Gsinθ）。由于物块处于静止状态，所以物块受到的合力为零，支持力和摩擦力的合力与重力是一对平衡力。AD正确。

一、斜面和物体都静止

变化一 今再施加竖直向下的力F于物块，力F过物块的重心，物体仍处于静止状态，如图2所示，则（）

A． 斜面对物块的弹力增大

B． 物块所受的合力不变

C． 斜面对物块的摩擦力增大

D． 当力F增大时，物块会运动

解析 施加竖直向下的力F于物块，相当于在物块上增加质量，使重力增大，物块仍然处于静止状态，所以物块受到的合力仍然为零，B正确，D错误。把G和F进行正交分解，得：弹力FN=（G+F）cosθ，可见A正确。摩擦力f=（G+F）sinθ，所以C正确。

变化二 若施加平行斜面向上的力F，物块仍处于静止状态，如图3所示，则斜面作用于物块的静摩擦力为（）

A． 方向可能沿斜面向上

B． 方向可能沿斜面向下

C． 大小可能等于零

D． 大小可能等于F

解析 讨论F与重力沿斜面向下的分力的关系，F可能大于、等于或小于重力沿斜面向下的分力，所以ABCD都有可能。

变化三 如图4所示，物体在水平力F作用下，静止在斜面上，若少许减小水平力F，而物体仍能保持静止，试分析斜面对物体的静摩擦力、斜面对物体的支持力、地面对斜面的静摩擦力和地面对斜面的支持力的变化情况。

解析 斜面对物体的支持力一定减小，斜面对物体的静摩擦力可能减小也可能增大。地面对斜面的静摩擦力与水平力二力平衡，所以地面对斜面的静摩擦力减小，地面对斜面的支持力不变。

变化四 如图5所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，质量为m的物体受外力F和F的作用，F方向水平向右，F方向竖直向上，若物体静止在斜面上，则下列关系正确的是（）

A． Fsinθ+Fcosθ=mgsinθ，F≤mg

B． Fcosθ+Fsinθ=mgsinθ，F≤mg

C． Fsinθ－Fcosθ=mgsinθ，F≤mg

D． Fcosθ－Fsinθ=mgsinθ，F≤mg

解析 物体静止在斜面上，应有F≤mg；对物体受力进行正交分解，可得Fcosθ+Fsinθ=mgsinθ。故B正确。

二、斜面静止，物体运动

（一）单个物体在斜面上的运动

变化五 若物块恰好沿斜面匀速下滑，现用一个力F作用在物块上，力F过物块的重心，且方向竖直向下，如图2所示，则（）

A． 斜面对物块的弹力增大

B． 物块所受的摩擦力增大

C． 物块将沿斜面加速下滑

D． 物块仍沿斜面匀速下滑

解析 物块沿斜面匀速下滑时，有Gsinθ=μGcosθ，得：μ=tanθ。施加力F后，（G+F）sinθ－μ（G+F）cosθ=ma，所以a=0，物块仍沿斜面匀速下滑。ABD正确。

变化六 一斜面体静止在粗糙水平面上，一物体恰能在斜面体上匀速下滑，可以证明此时斜面不受地面的摩擦力作用。若沿平行于斜面的方向用力F向下推此物体，使物体加速下滑，斜面体仍然和地面保持相对静止，如图6所示，则斜面体受地面的摩擦力（）

A． 大小为零 B． 方向水平向右

C． 方向水平向左 D． 无法判定

解析 虽然物体受力F加速下滑，但是斜面对物体的摩擦力和支持力都不变，物体对斜面的摩擦力和支持力也不变，所以斜面受力情况与没有施加力F前相同，所以地面对斜面体没有摩擦力。A正确。

变化七 如图7所示，质量为M的斜面体始终处于静止状态，当质量为m的物体沿斜面体下滑时，下列说法正确的是（）

A． 匀速下滑时，M对地面的压力等于（M+m）g

B． 加速下滑时，M对地面的压力小于（M+m）g

C． 减速下滑时，M对地面的压力大于（M+m）g

D． M对地面的压力始终等于（M+m）g

解析 把物体和斜面体作为一个整体。由整体法可知，匀速下滑时，M对地面的压力等于（M+m）g。加速下滑时，系统处于失重状态，对支持物的压力小于整体的总重力，所以M对地面的压力小于（M+m）g。同理，减速下滑时，系统处于超重状态，对支持物的压力大于整体的总重力，所以M对地面的压力大于（M+m）g。ABC正确。

变化八 如图4所示，位于光滑固定斜面上的小物体受到一水平向右的推力F的作用。已知物体沿斜面加速下滑。现保持F的方向不变，使其减小，则加速度（）

A． 一定变小

B． 一定变大

C． 一定不变

D． 可能变小，可能变大，也可能不变

解析 对小物体受力分析，沿斜面平行方向由牛顿第二定律得Gsinθ－Fcosθ=ma。若F减小，则物体的加速度将变大，所以B正确。

变化九 质量为m的物体在粗糙斜面上以加速度a加速下滑，现有一个恒力F作用在物体上，力F过物体的重心，且方向竖直向下，如图2所示，则施加恒力F后物体的加速度将（）

A． 增大B． 减小

C． 不变D． 无法判断怎样变化

解析 开始时，mgsinθ－μmgcosθ=ma，因为a>0，所以sinθ>μcosθ。施加F后，（mg+F）sinθ－μ（mg+F）cosθ=ma′，得a′=a+（sinθ－μcosθ）。所以a′>a，A正确。

变化十 质量为m的物体在粗糙斜面上匀速下滑，现有一恒力F作用在物体上，若所加的力F垂直于斜面向下，如图8所示，则物块的运动状态如何？

解析 由牛顿第二定律得：Gsinθ－μ（Gcosθ+F）=ma，又因为μ=tanθ，所以－μF=ma，加速度为负值，物块先做减速运动，最后停止。

（2）斜面上的连接体的运动

变化十一 如图9所示，一固定斜面上两个质量相等的小物块A和B紧挨着匀速下滑，A与B的接触面光滑，已知A与斜面之间的动摩擦因数是B与斜面之间的动摩擦因数的2倍，斜面的倾角为θ。B与斜面之间的动摩擦因数是（）

A． tanθB． cotθC． tanθ D． cotθ

解析 设A和B的质量均为m，B与斜面之间的动摩擦因数为μ，则A与斜面之间的动摩擦因数为2μ，AB系统处于平衡状态，有2mgsinθ－2μmgcosθ－μmgcosθ=0，解得μ=tanθ。A正确。

变化十二 如图10所示，质量分别为m和M的两物体A和B叠放在倾角为θ的斜面上，A、B间的动摩擦因数为μ，B与斜面间的动摩擦因数为μ（μ<μ）。当它们从静止开始沿斜面一起加速下滑时，两物体始终保持相对静止，则物体A受到的摩擦力大小为（）

A． 0 B． μmgcosθ

C． μmgcosθD． mgsinθ

解析 把A和B作为整体，由于两物体始终保持相对静止，它们应具有相同的加速度。（M+m）gsinθ－μ（M+m）gcosθ=（M+m）a，得a=gsinθ－μgcosθ。以A为研究对象，由牛顿第二定律得：mgsinθ－f=ma，代入整理得f=μmgcosθ。C正确。

变化十三 如图10所示，物体A放在物体B上，A、B的上、下表面均与斜面平行，当两者以相同的初速度靠惯性沿光滑固定斜面向上做匀减速运动时，以下说法正确的是（）

A． A受到B的摩擦力沿斜面方向向上

B． A受到B的摩擦力沿斜面方向向下

C． A、B之间的摩擦力为零

D． A、B之间是否存在摩擦力取决于A、B表面的性质

解析 由于A、B是在光滑斜面上做匀减速运动，可得整体的加速度为gsinθ，这正好是各自沿斜面运动时的加速度，所以A、B之间的摩擦力为零，否则A、B不会一起运动。所以C正确。

变化十四 如图11所示，斜面的倾角为θ，木块A的质量为m，叠放在木块B的上表面，木块B的上表面水平，下表面与斜面间无摩擦力。当A与B保持相对静止一起沿斜面下滑时，求A受到B的支持力和摩擦力。

解析 A和B组成一个简单的连接体，具有相同的加速度a=gsinθ，对A受力分析并分解加速度，则有：a=acosθ=gsinθcosθ，a=asinθ=gsin2θ。由牛顿第二定律得：f=ma=macosθ，mg－F=ma=asinθ=gsin2θ。解得：A受到B的支持力F=mgcos2θ，A受到B的摩擦力f=mgsinθcosθ。

变化十五 如图12所示，质量为m、m的两个物体用轻杆相连，置于固定的斜面上，则（）

A． 若斜面光滑，当m>m时，m拉m

B． 若斜面不光滑，当m>m时，m拉m

C． 当它们一起下滑时，一定是m拉m

D． 以上说法都不对

解析 当斜面光滑时，由整体法得它们的加速度a=gsinθ，再对m或m进行隔离，可得杆中的力为零。同理可以证明如果斜面不光滑，杆中的力也为零。D正确。

变化十六 若将杆换成绳子或弹簧，结果相同。

变化十七 如图13所示，在倾角为α的固定光滑斜面上，有一用绳子栓着的长木板，木板上站着一只猫，已知木板的质量是猫质量的2倍，当绳子突然断开时，猫立即沿着木板向上跑，以保持其相对斜面的位置不变。则此时木板沿斜面下滑的加速度为（）

A． sinαB． gsinαC． sinαD． 2gsinα

解析 设猫的质量为m，则木板的质量为2m，以猫为研究对象：f=mgsinθ；以木板为研究对象：f′+2mgsinθ=2ma，f′=f，所以a=sinθ。

三、斜面和物体都运动

变化十八 一有固定斜面的小车在水平面上做匀速直线运动，小球通过细绳与车顶相连。小球某时刻正处于如图14所示状态。设斜面对小球的支持力为N，细绳对小球的拉力为T，关于此时刻小球的受力情况，下列说法正确的是（）

A． 若小车向左运动，N可能为零

B． 若小车向左运动，T可能为零

C． 若小车向右运动，N不可能为零

D． 若小车向右运动，T不可能为零

解析 当加速度向左时，拉力T可能为零，当加速度向右时支持力N可能为零，两种可能均与小车运动方向无关。AB正确。

变化十九 如图15所示，一物体放置在倾角为θ的斜面上，斜面固定于加速上升的电梯中，加速度为a，在物体始终相对于斜面静止的条件下，下列说法中正确的是（）

A． 当θ一定时，a越大，斜面对物体的正压力越小

B． 当θ一定时，a越大，斜面对物体的摩擦力越大

C． 当a一定时，θ越大，斜面对物体的正压力越小

D． 当a一定时，θ越大，斜面对物体的摩擦力越小

解析 对物体进行受力分析，可知物体受到重力mg、支持力F、摩擦力f，由于物体的加速度竖直向上，所以支持力F和摩擦力f的合力竖直向上，与重力方向相反，根据牛顿第二定律得：－mg=ma，－mg=ma。故当θ一定时，a越大，斜面对物体的正压力越大，斜面对物体的摩擦力越大。当a一定时，θ越大，斜面对物体的正压力越小，斜面对物体的摩擦力越大。BC正确。