提取·整理·应用

韦波富

过去对小学数学整理与复习教学的认识一般停留在知识点小结、查漏补缺、题型训练上。新课程背景下，整理与复习的教学应当把完善学生的认知结构、培养学生整理知识的能力作为主要任务。

“提取”“整理”“应用”是整理与复习的主要环节。从教学流程的角度看，“提取”是学生从脑中调用所要整理的知识，“整理”是对提取出来的知识进行归类、整合、提炼等系统化处理，“应用”则是对整理结果的综合运用。从思维的角度看，“提取”是分析检索的过程，“整理”是比较、综合、归纳的过程，“应用”是演绎的过程。从学生学习的过程看，提取是“温故”，整理是“知新”，应用是“实践”。

一、有效提取，激活原认知

提取是有效整理的前提。整理的质量如何，取决于学生对原有认知结构的熟悉和理解程度。在整理之前要对原有的知识要素进行唤醒，使原有的认知结构被激活。提取主要有如下几种方式：

1.提供结构性材料

复习有别于练习，它着眼于学生认知结构的重组。因此，提供的材料切忌零碎、东一榔头西一棒，要具有内在的结构性。如在《数的整除》整理与复习时，我提供如下素材：1、2、4、0.8、9、15，请学生说说对这些数及其关系的理解。学生从数的奇偶性、是否是质数及合数、两个数之间的关系（如互质数、倍数、因数）等方面对数的特点进行了描述。通过对这些数的观察、理解，借助具体材料回忆，追溯到相关的概念、法则，有效激活了学生已有的知识，以此为基点展开梳理、重构便水到渠成。题组也是很好的结构性材料。可以设计对比性的题组，体现结构的关联性以及相似知识的差异性，也可以设计递进式的题组，体现结构的发展性。题组为知识的沟通整理提供了很好的凭借。

2.依据提纲举例说明

提纲是对整理内容要领的分解，由此回忆相关的规则、概念等。“举例”则是将内容具体化，暴露学生对知识的理解程度。五年级《分数的基本性质》的整理与复习，可以依据下列提纲进行：举例说明下列问题。①什么是分数基本性质？②什么叫约分?什么叫通分?约分和通分的依据是什么?③约分、通分有什么作用?教师针对内容的重点难点，设计有序的复习提纲，引导学生思考，既让学生有序地复习了知识，又以提纲的形式突出了知识结构。

3.引导自主回顾与交流

自主回顾，是学生对所要整理复习的知识板块的回忆。回忆出来的内容可能是零散的、不系统的，但通过同学之间的相互启发和补充，可以积少成多。引导回顾交流的方式很多。五年级《认识分数》整理复习时，我提出这样的问题引导学生回顾与交流：这一单元，你学会了什么?学生凭借记忆检索或通过阅读教材查找，实现对知识的提取。四年级《三角形的认识》则通过一个活动引导回忆与交流：画几个三角形，并说说这几个三角形分别有什么特点。这种方式伴随着具体的事物，学生回忆起来兴趣盎然，直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等跃然纸上，在交流中实现知识的提取和理解，为知识的分类整理奠定了坚实

的基础。

二、系统整理，重构原认知

揭示知识点本身不是目的，重要的是揭示知识之间的内在联系。整理是对所学知识的提炼、概括，是将所学知识进行系统化处理的过程，要通过整理使学生体验知识从零乱到系统的过程，帮助或教会学生从整体上把握知识，构建良好的认知结构。

1.整理的内容

整理一般包括两方面的内容。一是知识结构。结构反映的是整体，是各元素及其相互关联。知识结构不仅指知识之间的内在联系与区别，还包括知识的来龙去脉及发展过程。二是思想方法体系。如平面图形面积的复习，要整理面积公式，更要整理面积公式的推导过程，并总结出推导过程中所使用的共同策略，即化归思想。方法体系对知识结构有很重要的支撑作用。

2.整理的要求

①引导学生自主整理，在建构中学会建构。

过去很长一段时间，整理与复习都是教师以“基本练习——变式练习——综合练习”这样的线索去组织的，忽视了整理复习中学生的主体作用。建构主义认为，知识结构转化成学生的认知结构，是学生主体通过顺应和同化的方式实现的，是学生思维活动内化的结果。整理与复习应激发学生学习的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，放手让学生自主梳理，合作探究，互相交流、取长补短。五年级平面图形面积的复习，可以提出问题让学生整理：根据它们在推导过程中的联系，你能用一个图表示出它们之间的推导关系吗?整理中，学生呈现了不同的流程图(见下面前两图)，每个图都是学生原有认知背景重新构造的结果，富有个性化色彩。在相互启发之下，进而形成了更为完善的结构图式（第三图）。它打破了教材的单一性，呈现出了多

样化的表达方式，让学生在建构中学会建构。

②重视整理方法的指导，培养系统整理能力。

方法的获得是能力提升的关键。要指导学生把握整理的思路和线索，了解知识结构、方法体系的表达或呈现方式，举一反三，触类旁通，迁移运用。(苏教版一上)10以内加法的整理，教材直接呈现了加法表让学生竖着看、横着看、斜着看，寻找规律。学生没有经历整理的过程。为此，我们进行了改进。A.用l—9列出几道加法算式(提取)。B.你知道10以内的加法算式一共有多少道吗?要知道共有几道最好的办法就是把这些加法算式有顺序、有规律地列举出来，那么我们可以按照怎样的规律来整理这些加法算式呢?学生想出了两种整理思路：一种是把得数相同的算式排在一起，另一种是先确定第一个加数，然后第二个加数依次加一。整理的方法是学生自己想出来的，整理起来兴趣更浓。这样的体验比寻找规律更有价值。再如，分数应用问题的复习，重点应放在解题思路的沟通上。可以在分数乘法问题、除法问题解答的基础上，引导学生讨论和归纳解题思路的相同点，概括出具有共性的解题思路，即以方程 思想为统率的数量关系式：一种量×a/b=另一种量，培养学生抽象概括的能力，体会知识由“厚”变“薄”的过程。

在教学中要指导学生根据知识的特点灵活选择知识结构的呈现方式。有些知识的整理宜于采用图表式，如长(正)方体，牵涉到特征、表面积、体积以及长方体与正方体之间的关系，通过列表呈现结构会更加清晰。而数的整除知识是按一定的逻辑顺序发展起来的，使用“结构图”整理能理清知识发展的脉络。

③处理好学段整理以及阶段性与总结性整理的关系，突出整理的总体要求。学生的认知水平是随着年龄的增长、知识的积累逐步提高的。表现在整理知识的能力上，各个学段的学生存在着不同的特点。在小学第一学段整理复习的教学偏重在教师的指导下完成。这时候的整理往往伴随着具体的图形、算式、数进行，是一种直观的整理。进入第二学段，整理与复习的教学应当适当减少指导性，突出培养整理能力，帮助学生逐步走向对知识的主动检索，自觉整理。

有些数学知识(如，数的认识)是分散在各个年级教学的，表现出阶段性的特点。而到了六年级总复习时要对这些知识(整数、小数、分数)进行一个全面的整理，表现出总结性的特点。在进行总结性整理复习教学时可以采取先总体后局部的方式进行整理，让学生有一个总体认识。如八年级总复习关于数的整理，可按下图模式层层展开。

总结性的整理要尽量运用阶段整理的成果，重点放在对各阶段知识之间的沟通联系上。如，六年级《数的运算》总复习，首先回顾整数加减法、小数加减法、分数加减法的计算方法，在此基础上思考：它们在计算方法上有什么共同点?使“计数单位相同才能直接相加减”成为连接它们的桥梁纽带，从而使学生的认知结构得以高度整合和优化。

三、综合应用，实践新认知

整理复习的应用不同于新授课的应用，设计重点应在于其更高的综合性与灵活性，促进学生认知结构的内化和应用能力的提高。

1.围绕认知结构，组织综合练习

经过整理形成的认知结构还不够稳定，需要进一步内化。教学需要围绕这一目标设计相关活动。如，苏教版五上《多边形的面积计算》整理后，出示下图，引导学生思考和交流：下面四个图形的面积有什么关系?你是怎么想的?

学生中出现了不同层次的理解水平，有的根据公式计算后比较发现的，有的根据高相等、底的关系进行判断的，有的根据推导过程推理得到的。学生的认知结构在这里得到了具体的呈现，再一次获得互补、优化的机会。

《三角形的认识》整理后，设计如下练习：一个三角形，其中一个内角为50°，这个三角形可能是什么三角形?有些学生根据三角形内角和的知识，假定一个角小于90°、大于90°、等于90°作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的判断。有些学生根据角与边的关系，判断什么情况下是一般三角形或等腰三角形。这一开放设计使得三角形有关知识得到了综合的灵活的应用。

在练习设计时还要重视此结构与其他知识结构的连接和贯通。如六年级《数的整除》整理后，提出如下问题让学生思考：“一个班男生人数占全班人数的3/5，这个班可能有多少人?”从而把整除与分数联系起来，使结构向外延伸，与其他知识融为一体，推动学生认知结构的不断发展。

2.着眼应用能力，开展探究活动

开展探究活动是锻炼学生应用新结构解决问题的有效途径。长方体整理复习后，组织学生解决下列问题：

①糖果厂要设计一种体积为8立方分米的方形糖果盒，请你给出三种方案填在下表中(长、宽、高为整数)。要使包装材料最省，应选择哪种方案?为什么这种方案用料最少?

②做下列长(正)方体的鱼缸(有盖，单位：分米)用料一样多吗?哪种容积最大?

③如果用24分米的铁丝做长(正)方体盒子的框架，想一想做成什么形状体积最大，并验征你的猜想。

这三个问题构成了一个系列，有意义且富有挑战性，体现了数学知识的应用价值。学生在解决这些问题时必须综合长(正)方体的相关知识，通过列举、比较、综合等过程作出解答，并运用解答过程中发现的数学规律解决问题。