斜率公式K=*在解题中的应用

段学强 罗班强

过两点P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)的直线的斜率K= ,这一公式在直线议程中是非常基础和重要的,因为直线方程的几种形式是在它的基础上推导而来的,因此,师生们对这个公式非常熟悉,但却忽视了它在解题中的作用。在解题中运用这个公式,有时会简化计算过程,优化解题方法,提高解题速度。本文就公式解题应用中的几个方面进行探讨:

一、在解决与共线有关的问题中的应用

例1)过点P( ,0)的所有直线中,通过两个不同的有理点(两点的坐标均为有理数)的直线的条数是()。A)有且仅有一条 ;B)至少有两条; C)有无穷多条 ;D)不存在这样的直线。

解P( ,0)在X轴上,故X轴是符合条件的直线。设存在另一条直线过两年不同的有理点P1(a1,b1) P2(a2,b2) 在同一直线上,则KP1P= = KP1P2= ∈Q=(a1- )∈Q, =( a1- )∈Q,这与 无理数矛盾,选A。

例2)如图,在椭圆 + =1上任一点M,M与短轴两端点B1B2 连线交X轴于N,K,

求证:︳0N ︳• ︳0K ︳为定值。

证明:设K点坐标(XK,0)N点

坐标(XN,0),M的参数坐标为(acosθ,bsinθ)由椭圆方程B1(0,-b)B2(0,b), B1、N、M在同一直线上, KB1M+KB1N即 = , Xn= ,又 B2、M、K在同一直线上,由KB2M+KB2K同理可得XK= , ︳0 K ︳• ︳0 N︳=︳Xn • Xk ︳=︳•︳ =a2。和共线有关的这一类问题,经常利用斜率相等作为解题的突破口,而斜率相等是由K= 来实现的,由此可列出有关的计算式。

二、在有关求轨迹问题中的应用

(1)求平行弦中点轨迹中的应用

例3)求斜率为1的圆x2+y2=4的一组平行弦的中点轨迹。

解:设弦的两端点A(x1,y1)B(x2,y2),AB的中点为M(x,y), 则x= •y= 。又 A、B在圆上

x12+y12=4 ①

x22+y22=4②,①-②得:(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0变形: = 。由已知条件K=1= =-1即y=-x,

所以轨迹是圆的弦的中点,故平行弦中点轨迹是y=-x在圆内的一段。

(2)求过定点弦的中点轨迹的应用

例4求抛物线y2=4x的经过焦点的弦的中点的转迹方程。

解:设弦端点为A(x1,y1)B(x2,y2),AB的中点为M(x,y),则2x= x1+ x2,2y=y1+y2.又 A、B在抛物线上,y12=4x1① , ②-①得:(y2-y1)

y12=4x1②

(y2+y1)=4(x2-x1)= = =KAB=KMF=

= 化简:y2=2(x-1)即为所求的轨迹方程。

这一类问题,在设出弦的端点后,代入曲线方程,利用作差法,将K= 作为整体进行代换,可以大大减少算量,优化解题目的过程,提高解题的速度。

三、在解决轴对称问题中的应用

解决轴对称问题的基本思路是利用对称的特点:对称点的联线被对称轴垂直平分。而其中的垂直经常由斜率体现出来,对称点联线的斜率是分式K= 给出的。

例5)椭圆C: + =1关于直线x-y+3=0对称的椭圆C,的方程。

解设椭圆C,上任一点A,( x,,y,), A,关于直线x-y+3=0对称点A(x0,y0),则A一定在椭圆C上,由于A,A关于直线x-y+3=0对称,=-1,AA,中点M(, )在直线x-y+3=0上,, +3=0,由此得方程组:

- +3=0

解之:X0=y′-3

X0=x′+3

由于点(x0y0)在椭圆上,代入椭圆方程得C′方程为: + =1。

对称轴曲线方程的常用方法是代点法,实现代点法的一个基本条件是由斜率公式K= 来完成的。

四、在求最值或值域中的应用。

例6)求函数y= 的值域。

解:由斜率公式K= 可知,函数y= 的值域可以看成是过点(6,1)与点(4cosx,3sinx)连线的斜率的取值范围,而点(4cosx,3sinx)有椭圆。如图,直线1逆时针旋转到1,时的斜率的范围即或所求。由此,只须求1用1,的斜率即可,设方程为y-1=k(x-6)直线与椭圆相切,故方程 y-1=k(x-6)

+ =1

得(9+16k2)x2+32(k-6k2)x+64(9k2-3k-2)=0有两个相等的实根,由△=0,得K1=- ,K2=1故原函数的值域为[- ,1]。

这一类问题经常利用数形结合的思想方法求解,而分式K= 是实现数形结合的过渡桥梁,可见这一分式在这类问题中所起的作用。

な崭迦掌:2009-09-23