求最值八法

何友义

(湖南省衡阳幼儿师范学校数学组421008）

职业高中数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何、解析几何各科之中。由于它涉及的知识面广，方法灵活，应用广泛，训练思维能力效果显著，因此最值问题是历来各类考试的热点。本文介绍求最值的几种方法，供大家参考。

一、观察法

例1△ABC中，∠A＝120 ，BC=8,试判断三角形是何种形状时面积最大？面积的最大值是多少？

解：因为∠A=120 （定角），BC=8（定长），所以A点的轨迹是以BC为弦，含圆周角为120 的圆弧（B，C二点除外）。经过观察要使△ABC的面积最大，只要A点位于弧BC的中点即可，此时△ABC为等腰三角形，其面积最大，最大值为 。

二、反函数法

例2求函数y=x+ 的最大值

解：由y=x+ 解得，x=(y-1)± 由2-2y≥0,得定义域y≤1,前面移项后平方时，没有增加y=x+ 的值域。故原函数的值域为y≤1，即y的最大值为1。

三、二次函数法

例3求函数y= + 的最大值

解：函数的定义域为 [1，4]，当x∈[1,4]时，有y＞0

所以y =x-1+4-x+2 =3+2 =3+2 ，当x= 时，函数有最大值6

四、函数性质法

例4求函数y=2cos(3x- )+2的最大值，最小值。

解：∵x∈R, cosx ≤1

∴cos(3x- ) ≤1

故 y-2 = 2cos(3x- ) ≤2

∴y的最大值为2+2，最小值为-2+2

五、判别式法

例5求函数y= 最大值

解：将原式变为（y-2）x +(y-2)x+y-3=0

∵x为实数，当(y-2)≠0时，△=(y-2)-4（y-2）(y-3)≥0得2＜y≤

当y-2=0时，有y-3=0即y=3,矛盾，

∴y≠2

∴y的最大值为

六、数形结合法

例6求函数y=—的最大值，最小值

解：由已知y≤0,两边平方，得y = （9—x ）=4—x ，

x + y =4，即 + =1（y≤0）因为x [—3，3]，可知函数的图象是中心在原点，焦点在x轴，半长轴为3，半短轴为2，在x轴下方的半椭圆，所以知—2≤y≤0。故函数y=—最大值是0，最小值是—2。

七、变量代换法

例7求函数y= + 的最大值、最小值

解：由已知函数的定义域为0≤x≤1，可设x=sin（0≤ ≤ ）则有

y= + =sin + =sin +cos = sin（ + ），

当 = 时，函数y= + 的最大值是 ，当 =0、 时，函数y= + 的最小值是1。

八、复数法

例8求函数y= + 的最小值

解：设z =2a+xi，z =a+（a—x）i，则 = ， = 。

∵ + ≥ 。

∴y= + ≥ = =

= = =

∴函数y= + 的有最小值，最小值是。

收稿日期：2009-03-26