无法解出的方程

蒋昕捷

有一次，读小学五年级的表弟拿来一道选择题，据说改编自古希腊“代数学之父”丢番图的墓志铭。

“他生命的1/6是幸福的童年。再活了寿命的1/12，胡须长上了脸。又过去一生的1/7，丢番图结了婚。再过5年，儿子降临人世，他幸福无比。可是这孩子的生命只有父亲的一半。儿子死后，老头儿在悲痛中度过4年，终于了却尘缘……”最后问，“丢番图活了多大年纪？”

我略加思索，把所求数设为“χ”，列了个一元一次方程，两分钟后算出来，老头儿活了84岁。表弟拿着答案欣然离去。两天后，他哭丧着脸找我，说“方程法”被老师斥为“最笨解法”。

“聪明解法”是这样的：既然“1/12”“1/6”“1/7”对应的年龄段必然是整数，那答案就是“12、6、7”中最大互质因子的乘积——“12×7＝84”。老师还说：“傻子才动笔算选择题。”

惊叹于中国学生的应试手段又有了新突破。最近，我读了《无法解出的方程》才知道，人类自学会结绳记数之后，直到古巴比伦时期（公元前2000年－公元前600年），才学会运用“最笨的”线性方程。当然，方程式的出现并不是要应付考试，而是为了造福人类，帮助人们处理日常问题。

在古巴比伦时代的楔形文字泥板上，记载着许多关于土地分割的问题，比如“1／4的宽加长等于7手（长度单位），长加宽等于10手，那么长和宽是多少”？从文字记载来看，古巴比伦人已经学会把长和宽设为两个未知数，列出一个二元一次方程组求解。但是这种解法并不能真正解决土地分割的问题，因为其中包含了古代人常犯的一种错误——认为一个图形的面积完全取决于它的周长。

在古希腊，许多人不相信一个围墙为48视距的斯巴达，其容量可能是周长为50视距的麦加罗城的两倍。因此直到公元5世纪，某些城邦的官员仍习惯于欺骗他们的公民。他们所用的方法就是把周长较大而面积较小的土地换给别人，获利的同时还赢得慷慨的美名。

一些历史学家推测，或许是为了保护民众不受这些骗子的伤害，尽责的古代数学家们将二次方程及其解法公之于众。比如在一块楔形文字泥板上就有这样的问题，“我从我的正方形面积中减去边长得870”。即二次方程X2－X＝870。在泥板上，数学家们列出了详细的解法。

如果说处理面积的问题造就了二次方程，当人们碰到像立方体这样的体积计算时，三次方程也就应运而生。大约在16世纪上半叶，人们已经会解三次方程，继而又找到了四次方程的解法。

此后的250年，求五次方程的公式解成为数学家们钻研的一个中心课题。但所有的努力都以失败告终，包括被誉为“数学王子”的高斯，也只是证明了五次方程必然有5个解。但是这些解能通过一个公式找到吗？高斯并没有回答这个问题，五次方程也因此被称为“无法解出的方程”。

这里所说的“解不出”，不是指方程无解，而是指这个解不能通过代数运算（即加、减、乘、除）和开方得到。在高斯之后，挪威数学家阿贝尔、法国数学家伽罗瓦，以及一些同龄的青年才俊，如后来成为大数学家的雅可比，都曾经尝试过找出公式解。阿贝尔还一度认为自己已经成功，不过，后来他们都认识到其中出现了错误。

于是，阿贝尔开始想，有没有可能一般五次方程没有根式解？后来，阿贝尔证明了这一点，伽罗瓦则更进一步加以证明，同时创立了群论以及现在通称的伽罗瓦理论。如今，作为解五次方程得到的“副产品”，群论被应用于物理领域，更多的时候则被用来研究宇宙中的对称法则。

当然，方程式本身并没有那么玄乎，普通读者也可从中获益。比如群论中最浅显的置换理论可以帮助你“挑一辆合适的二手车”，或是从“4位候选者中找出真正适合结婚的对象”。

也许，在这样的生活琐事中，方程式更多地体现出它本来的意义。据说爱因斯坦看到原子弹爆炸带来的灾难时，想起了自己提出的质能方程。他痛心疾首地写道：“我们的思想创造应该是人类的福祉而非灾祸，在你的方程式中永远不要忘记这一点。”

（李秀玉摘自《中国青年报》2008年11月12日，Getty Images供图）