初中数学思想和方法的教学

纪 余

摘要：《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》（以下简称“义务大纲”）对初中数学的基础知识作了这样的描述：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”

关键词：初中数学；思想和方法；教学策略

把数学思想和方法作为初中数学的基础知识在大纲中明确提出来还是第一次，它要求我们在实施义务教育过程中，更要注重数学思想和方法的数学。

一、把握层次，克服盲目性

综观“义务大纲”，在初中要求学生了解的数学思想有：转化的思想、分类的思想、数形结合的思想、类比的思想等；要求学生了解的方法有：分类法、类比法、反证法，要求学生掌握或应用的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。这里“了解”“掌握”“应用”是教学要求的具体尺度，随便提高或降低要求都会给这一基础知识的教学带来不良后果。特别是若把“了解”的层次提高到“理解”，把掌握的层次提高到“灵活应用”，那么学生一开始就会觉得数学思想和方法是高深莫测的，就会失去学习数学的兴趣。

二、“方法”联系“思想”，以“思想”指导“方法”

数学思想和方法是不能截然分开的，中学数学教学中用到的各种方法都体现着一定的思想。数学思想属于数学观念，比较抽象；而数学方法较具体，它是实施有关思想的技术手段。因此，通过对数学方法的掌握和应用，以达到对数学思想的理解，是使数学思想与方法相互交融的有效途径。例如，初中数学涉及最多的是转化思想，大致有：“未知”到“已知”的转化、一般与特殊的转化、数与形的转化、升维与降维的转化、复杂向简单的转化等。为了实现这些转化，引入了许多数学方法，比如：消元降次法、换元法、换象法、图象法、待定系数法、配方法等。通过这些方法的学习，使学生领略数学思想的风采；既实现了数学思想的指导，又推进了数学方法的应用。

三、既要重点讲解，又要逐步渗透

教材中的许多概念、公式、定理的形成过程本身就蕴含着丰富的思想内容。如分类的思想，“义务大纲”虽在“三角形”和“四边形”这两部分中才具体提出要求，但分类的思想方法在教材前面的许多内容里都已涉及到。因此，教师在教学过程中要通过对重点的讲解，逐渐渗透该让学生掌握的数学思想。

四、寓数学思想方法于教学活动之中，优化学生思想品质

数学思想方法不同于其他基础知识，不能用符号、图形、式子等表示，不可能在一节或几节课内完成。为了使学生在初中三年里得到数学思想方法的陶冶，教师在平时的课堂教学活动中就应有意识、有目的地进行传授，使学生慢慢地消化吸收。

1.经常归纳，训练思维的深刻性。归纳的思想就是由个性到共性，由特殊到一般，从而从本质上把握事物。例如，“一元二次方程的应用”中关于浓度问题的教学，可引导学生先做以下练习：现有含盐10%的盐水300克（1）要配成含盐8%的盐水，需要加水多少克？（2）要配成含盐15%的盐水，需要加盐多少克？（3）要配成含盐18%的盐水，需要加入含25%的盐水多少克？做完了这些练习之后，教师再启发学生思考：如果把水的浓度看作0%，盐的浓度看作100%。三种类型的列式可否归纳为一种？

2.类比联想，训练相似思维。相似思维就是从一个事物的性质和变化规律，去引出另一有相似性事物的性质和变化规律，从而寻求解决问题的方法。相似思维需要联想，而类比是联想的一种有效途径。

例如，“一元一次方程的应用”，在讲完了行程问题之后，再讲工作量问题，可以引导学生这样思考：比较时间与工作日，速度与工作效率，距离与工作总量的意义，写出各自三个量之间的关系；分析在列方程的过程中，等量关系是否有类似之处？经分析，可以把工作量问题按照行程问题一样处理，另有工程问题，水流问题都与行程问题基本一致。

转化的思想是初中数学教材中涉及最多的数学思想，转化为创造提供了基础。例如，证明方程（X-M）（X+N）=1有两实根，且一根大于M，一根小于M。此题若用常规方法是十分困难的，但若能联系二次函数的图象，应用数与形的转化，会使问题很快得到解决。解：设y=（x-m）（x+m）-1，其图象为开口向上的抛物线，取其上一点（m，-1）此点在x轴下方，根据抛物线向上无限伸展的特性，必然与x轴相交，交点A（x1，0），B（x2，0），必在（m，0）的点两端，原题得证（图形略）。

总之，在数学教学的各个环节都应努力挖掘适合于初中学生的有关数学思想和方法，真正培养学生的数学意识和解决问题的能力，这样才能使我们的数学素质教育更上一层楼。