一次函数考点赏析

　　考点一：一次函数解析式的确定
　　
　　例1（07成都市）：如图1，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=的图象交于
　　A（-2，1），B（1，n）.
　　（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式。
　　（2）求△AOB的面积。
　　解析：（1）∵点A（-2，1）在反比例函数y=的图象上，∴m= (-2)×1= -2，∴反比例函数的表达式为y= -。∵B（1，n）也在y= - 的图象上，∴n= -2，即B（1，-2）。把点A（-2，1），点B（1，-2）代入一次函数y=kx+b中，得
　　-2k+b=1，k+b=-2 解得 k=-1b=-1
　　∴一次函数的表达式为y= -x-1
　　（2）y= -x-1中，当y=0时，得x= -1 .∴直线y= -x-1与x轴的交点C（-1，0）。
　　∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
　　∴S△AOB= S△AOC+S△BOC= ×1×1+×1×2=+1=
　　注：用待定系数法求直线的解析式是常见题型，同学们要把握好。此题还考查了一次函数与坐标轴围成的三角形面积，这方面问题中考中类型也较多。
　　
　　考点二：一次函数与不等式
　　
　　例2（07年重庆）：我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种橙子共100吨到外地销售。按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种橙子，且必须装满。根据下表提供的信息，解答以下问题：
　　表1 橙子销售信息
　　（1）设装运A种橙子的车辆数为x，装运B种橙子的车辆数为y。求y与 x之间的函数关系式；
　　（2）如果装运每种橙子的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
　　（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并写出最大利润的值。
　　解析：（1）根据题意，装运A种橙子的车辆数为x，装运B种橙子的车辆数为y，那么装运C种橙子的车辆数为 (20-x-y)，则有6x+5y+4(20-x-y) =100，整理得y=20-2x。
　　（2）由（1）知，装运A、B、C三种橙子的车辆数分别为x、(20-2x)、y，由题意，得
　　x≥120-2x≥4
　　解这个不等式组，得4≤x≤8。因x为整数，所以x的值为4、5、6、7、8，所以安排方案有5种。
　　方案一：装运A种橙子4车、B种橙子12车、C种橙子4车；（其他略）
　　（3）设利润为W（百元），则W=6x×12+5(20-2x)×16+4x×10=1600-48x
　　因为k= -48＜0，所以W的值随x 的增大而减小，要使利润W最大，则x=4，故选方案一。W最大=1600-48×4=1408（百元）=14.08万元。答略。
　　注：本题以一次函数为载体，以解决实际问题为目的，综合考查同学们对函数、方程、不等式的掌握情况以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，提出了新课标的基本理念，体现了数学的价值。
　　
　　考点三：一次函数与几何问题
　　
　　例3（07济宁市）：（1）已知矩形A的长、宽分别是2和1，那么是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的2倍？
　　对上述问题，小明同学从“图形”的角度，利用图象给予了解决，小明论证的过程开始是这样的：如果用x、y分别表示矩形的长和宽，那么矩形B满足x+y=6，xy=4。请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程。
　　（2）已知矩形A的长、宽分别是2和1，那么是否存在另一个矩形C，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的一半？
　　小明认为这个问题是肯定的，你同意小明的观点吗？为什么？
　　解析：（1）点（x，y）可以看作一次函数y= -x+6的图象在第一象限内点的坐标，点（x，y）又可以看作反比例函数y=的图象在第一象限内点的坐标，而满足问题要求的点（x，y）就可以看作一次函数y= -x+6的图象与反比例函数y=的图象在第一象限内交点的坐标。分别画出两图象（图略），从图中可看出，这样的交点存在，即满足要求的矩形B存在。
　　（2）不同意小明的观点。如果用x、y分别表示矩形的长和宽，那么矩形C满足x+y=，xy= 1，而满足要求的点（x，y）可以看作一次函数y= -x+ 的图象与反比例函数y=的图象在第一象限内交点的坐标。画图（图略）可看出，这样的交点不存在，即满足要求的矩形C不存在。所以不同意小明的观点。
　　注：用代数方法解决几何问题，思路开阔。用纯几何知识难以解决的问题借助函数轻松解决。题目设计新颖，很好的体现了“数”、“形” 结合的优越性。
　　
　　考点四：一次函数探索型问题
　　
　　例4：（07年辽宁省）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠。书包每个定价20元，水性笔每支定价5元。小丽和同学需买4个和水性笔若干支（不少于4支）。
　　（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；
　　（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
　　（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济。
　　解析：（1）设按优惠方法①购买需用y1元，按优惠方法②购买需用y2元，
　　y1 =（x-4）×5+20×4=5x+60
　　y2=(5x+20×4)×0.9= 4.5x+72
　　（2）设y1＞y2，即5x+60＞4.5x+72，∴x＞24。当x＞24时，选择优惠方法②。设y1=y2，解得x=24。∴当x=24时，选择优惠方法①、②均可。∴当4≤x＜24时，选择优惠方法①。
　　（3）因为需要购买4个书包和12支水性笔，而12＜24，购买方案一：用选择优惠方法①购买，需5x+60=5×12+60=120；购买方案二：采用两种购买方式，用选择优惠方法①购买4个书包，需4×20=80元，同时获赠4支水性笔；用优惠方法②购买8支水性笔，需8×5×90%=36元，共需80+36=116元。显然116＜120，最佳购买方案是：用选择优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔。
　　注：此题关键是建立模型，利用函数值的大小关系进行比较。
　　
　　考点五：一次函数开放题
　　
　　例5(07包头市)：一个函数具有下列性质：①图象经过点（-1，2）；②当x＜0时，函数值y随自变量x 的增大而增大。满足上述两条性质的函数解析式可以是__________(只要求写一个).
　　解析：若为一次函数，则有条件①可得2= -k