菱形性质的运用

卢定波

菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质.另外,菱形还具有特别的性质:菱形的四条边都相等,对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.

例1(2008年·宜宾)如图1,菱形ABCD中,E､F分别是BC､CD上的点,且BE = DF.求证:AE = AF.

证明:由“菱形的四条边都相等”可知AB = AD.由“菱形对角相等”可得∠B = ∠D.再由已知BE = DF,运用SAS可判定△ABE≌△ADF.从而可证明AE = AF.

点评:解本题主要运用了菱形的四条边都相等和对角相等的性质,并结合全等三角形来证明线段相等.也可连接AC,由SAS证△AEC≌△AFC.

例2(2008年·广州)如图2,在菱形ABCD中,∠DAB =60°.过点 C作CE⊥AC,且与AB的延长线交于点E.求证:AD = CE.

证明:由于AC为菱形的对角线,可知∠CAB = ∠DAC = 30°.因为CE⊥AC,所以∠E = 60°.由AD∥BC,可知∠CBE = ∠DAB = 60° = ∠E,所以BC = CE.再由AD = BC,从而可得AD = CE.

点评:本题还可连接BD,由BD⊥AC知BD∥CE.易知四边形BDCE为平行四边形.AD = BD = CE.

例3(2007年·嘉兴)如图3,在菱形ABCD中,不一定成立的是().

A. 四边形ABCD是平行四边形

B. AC⊥BD

C. △ABD是等边三角形

D. ∠CAB = ∠CAD

解析:由菱形的定义,可知菱形也是平行四边形,故选项A是正确的.由“菱形的对角线互相垂直”,可知选项B是正确的.由“菱形的对角线平分一组对角”,可知选项D也是正确的.由“菱形的四条边都相等”可知, △ABD是等腰三角形,但对角线BD与菱形的四条边不一定相等,因此△ABD不一定是等边三角形.只有当BD与菱形的边相等时, △ABD才是等边三角形.因此,选项C不一定成立.

点评:本题要求同学们能够熟练地将“文字语言”(定义､性质等)结合具体的图形转化为“几何语言”.

例4如图4,菱形ABCD的周长为40,点 O是两条对角线AC､BD的交点,且AC ∶ BD = 3 ∶ 4.求AC和BD的长.

解析:由“菱形的四条边都相等”,可知AB =× 40 = 10.根据“菱形的对角线互相垂直平分”,可得∠AOB = 90°,OA = AC, OB=BD.因AC ∶ BD = 3 ∶ 4,所以有OA ∶ OB = 3 ∶ 4.不妨设OA= 3x,则OB = 4x.在Rt△OAB中,由勾股定理,可知OA2 + OB2 = AB2,即(3x)2 + (4x)2 = 102,解得x = 2.因此OA = 3x = 6, OB = 4x = 8,所以AC = 2OA = 12,BD = 2OB = 16.

点评:求菱形的边长或对角线长的问题,都是利用菱形的性质,在由边长和两条对角线的一半组成的直角三角形中,运用直角三角形的性质(如30°角所对的边长是斜边长的一半)或勾股定理求解的.

例5(2008年·大连)如图5,菱形ABCD和菱形QMNP中,∠NMQ= ∠ABC,点M是菱形ABCD的对角线AC､BD的交点, MN交AD于点F,MQ交AB于点E.试探究ME与 MF有何关系.请说明你的理由.

解析: ME =MF.理由如下.

过点M分别作MH⊥AB于点H,MR⊥AD于点R,如图6.

由“菱形的对角线平分一组对角”,可知点M在∠BAD的平分线上.又因为MH⊥AB, MR⊥AD,可得MH = MR.又∠HME + ∠EMR = ∠HMR = ∠ABC(想想为什么),∠RMF+∠EMR = ∠NMQ = ∠ABC,所以∠HME = ∠RMF.根据ASA可判定△HME ≌△RMF,所以ME = MF.

点评:本题是一道结论探究题,运用了“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”等相关知识,是一道综合性较强的好题.

菱形的性质较多,在解题中,要根据解题的需要,选用菱形的相关性质.另外,要注意菱形对角线与等腰三角形､直角三角形的紧密联系.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。