勾股定理应用题分析

作者简介 冯瑞先，郑州市教研室教研员，郑州市教研室中学数学学科组组长，中学高级教师，数学奥林匹克国家级教练员，人民教育出版社新课程培训专家组成员，河南省骨干教师，河南省教育学会中学数学教学专业委员会常务理事，河南省数学会理事，河南省数学竞赛委员会委员，郑州市数学会副秘书长.长期从事中学数学教学和评价研究，主编、参编初、高中教辅资料几十套，在国家级报纸、杂志上发表论文数十篇.

勾股定理和其逆定理在解决实际问题时都有广泛的应用.

例1 有一根长为70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别为50 cm、30 cm、40 cm的木箱中，能放进去吗？

分析：木棒能否放进木箱中，要比较木棒的长度与木箱（长方体）的体对角线的长度.若体对角线大于70 cm，则木棒能放进木箱中.否则，木棒不能放进木箱中.

解：如图1，设木箱为ABCD-A1B1C1D1，连接A1C1，AC1.

在Rt△A1B1C1中，

A1C12=A1B12+B1C12=502+302=3 400．

在Rt△AA1C1中，

AC12=AA12+A1C12=402+3 400=5 000．

因为5 000＞702，所以AC1＞70 cm.

所以70 cm长的木棒能放进木箱中．

点评：长方体的棱长若分别为a、b、c，则它的体对角线长为.

例2 如图2所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2 m，梯子的顶端B到地面的距离为7 m.现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离为3 m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么，BB′等于多少？

分析：要求BB′的长，已知BO的长为7 m，所以，只要求出B′O的长即可．而A′O是易知的，并且梯子在运动过程中其长度是不变的，即AB= A′B′.

解：在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2＝22+72＝53.

在Rt△A′B′O中，A′B′2＝A′O2+B′O2＝32+B′O2＝53.

所以，B′O＝＝=2（m）.

所以BB′＝BO－B′O=7-2（m）.

点评：解梯子问题的关键，是抓位梯子长度不变这个特点.不要想当然地认为，梯子一端移动了多少，另一端也会移动多少.

例3 如图3，A，B，C，D是四个小镇，它们之间都有笔直的公路相连接（除B，C外）.公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：AB：10元；AC：12.5元；AD：8元；BD：6元；CD：4.5元．为了B、C之间的交通方便，现要在B、C之间建成笔直公路.请按上述标准计算出B、C之间的公共汽车的票价．

分析：解决此题的关键是读懂题意.题设条件中给的是票价，而小镇与小镇之间是距离，所以，必须把路程和票价之间的关系理顺.由已知，票价与路程成正比，故可把票价视为路程来处理，问题就变成解三角形了.

解：因为票价与路程成正比，故可把票价视为路程来处理．

由已知可以认为：AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5．

因为AD2+BD2=82+62=100=102=AB2，所以△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°．

连接BC，在Rt△BDC中，CD=4.5，BD=6，所以BC==7.5．

故B、C之间的公共汽车票价为7.5元．

例4 等腰△ABC的底边长为8 cm，腰长为5 cm.一动点P在底边上从B点向C点以0.25 cm/s的速度移动.请探究：当P点运动几秒时，PA与腰垂直？

分析：要使PA与腰垂直，只须PC2=AP2+AC2或BP2=AB2+AP 2.为此，应分别列出三边的长.而已知图形中没有直角三角形，所以应作出直角三角形.过点A作底边BC上的高AD，直角三角形就出现了，问题可以用勾股定理来解决.

解：如图4，作底边BC上的高AD，垂足为D点．设PA⊥AC．

由等腰三角形的性质知BD=DC=BC=4 cm．

在Rt△ADB中，AD2=AB2-BD2=9，所以AD=3 cm．

在△PAC中，AP 2+AC2=PC2，而AP 2=AD2+PD2=32+（PC-4）2，故代入有32+（PC-4）2+52=PC2.解得PC= cm，故BP=8-=（cm）．

P点移动的时间为÷0.25=7（s）．

当P点移动到D点与C点之间时，由等腰三角形的对称性，作P点关于D点的对称点P′，此时有P′A⊥AB.

则P′C= cm．BP′=8-=（cm）．

此时P点的运动时间为÷0.25=25（s）．

所以，当P点移动7 s或25 s时，PA与腰垂直．

点评：与等腰三角形有关的问题，大都涉及分类讨论，其原因之一，是两个腰相等，具有“双重性”.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。