四边形学习要点与中考试题分析

孔凡哲　隋志杰

作为平面几何中的基本图形，四边形以其基本概念、基本性质构成初中数学“图形与空间”领域学习的主干内容.在四边形的学习中，我们不仅需要熟练地掌握四边形的内容结构，而且要清楚地把握相关的题型及其解法.

一、教材解读

四边形这部分知识主要涉及两类内容，一是平行四边形，二是梯形.平行四边形是重点.平行四边形及其特殊图形（矩形、菱形、正方形）的基本概念、基本性质及判定，构成平行四边形学习的核心.其中，尤其要熟练掌握平行四边形、特殊平行四边形之间的联系与区别.此外，也要注意理解梯形、密铺等内容，掌握梯形、等腰梯形的基本性质和常用的判定方法.通过探索平面图形的密铺，了解三角形、四边形、六边形等可以密铺图形的特征，能运用这三种图形进行简单的密铺设计.

由于各种特殊平行四边形的性质和判定方法比较多，在学习中很容易混淆，因而，理清它们之间的关系也是本章学习的一个难点.

二、中考试题中的常见题型及解题思路

1. 直接应用知识类

这类试题主要是运用平行四边形的定义、性质和判定方法，进行相对简单的解释和应用.就试题的形式来说，多以选择题或填空题的形式出现.

例1 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC ，∠D=90°.若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形.这个条件是．（写出一个即可）

解析：根据判定方法寻找缺少的条件.结合图形发现，只要有AD=BC就可知四边形ABCD是平行四边形，再加上∠D=90°就可推出四边形ABCD是矩形.所以，可添加条件AD=BC.答案不唯一.

2. 简单计算类

这类试题主要涉及求四边形中线段 、角及面积等，一般以计算题的形式出现.

例2 如图2，矩形A1B1C1D1的面积为４，顺次连接各边中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点得到四边形A3B3C3D3，依此类推.则四边形AnBnCnDn的面积是.

解析： 如图3所示，连接A2C2、B2D2，则A2C2∥A1D1，B2D2∥C1D1.因为A1D1⊥C1D1，所以，A2C2⊥B2D2. 则A2C2与B2D2分矩形A1B1C1D1为四个全等的矩形.又因为矩形对角线所分的两个三角形全等.所以，四边形A2B2C2D2的面积是矩形A1B1C1D1面积的.同理可知，AC与BD分四边形ABCD为四个全等的菱形（四边形A2B2C2D2为菱形可证）.菱形对角线也分菱形为两个全等的三角形，所以，四边形A3B3C3D3的面积是四边形A2B2C2D2面积的，是矩形A1B1C1D1面积的.依此类推，四边形AnBnCnDn的面积是矩形A1B1C1D1面积的.因而，四边形AnBnCnDn的面积是×4=.

3. 探究类

这一类题通常属于开放型题，包括结论开放型、条件开放型、综合开放型等，主要考查学生的创新能力、探究能力.题中给出一定的信息，让学生在这些信息的启发、引导下进行独立的探索.题目一般以证明或简答的形式出现.

例3 将平行四边形纸片ABCD按图4的方式折叠，使点C与点A重合，点D落到点D′处，折痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△AD′F.

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形.证明你的结论．

解析：（1）由折叠的性质可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠DCE＝∠D′AE．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D＝∠D′，AB=CD＝AD′，∠D′AE=∠DCE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3，∠1=∠3.

∴△ABE ≌△A D′F（ASA）．

（2）四边形AECF是菱形．

由折叠性质可知：AE＝EC，∠4＝∠5．

因四边形ABCD是平行四边形，故 AD∥BC．

故∠5＝∠6，∠4＝∠6．所以AF＝AE．

因为AE＝EC，所以AF＝EC．

又因AF∥EC，故四边形AECF是平行四边形.

因为AF＝AE，所以四边形AECF是菱形.

4. 密铺类

例4 如图5所示，已知等边△ABC的边长为1，按图中所示的规律排列，则2 008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（）.

Ａ． 2 008Ｂ． 2 009Ｃ． 2 010Ｄ． 2 011

解析：观察所给图形可知，每增加一个三角形，四边形周长只增加三角形一条边的长.所以，如果增加2 007个三角形，则增加了2 007条边的长，所以，用2 008个三角形镶嵌成的四边形的周长为3+2 007=2 010.所以，本题的正确选项是C.

5. 作图类

尺规作图问题在中考中可谓“丰富多彩”，命题形式也多种多样.解决这类问题，只要抓住基本规律，按照尺规作图的规则，按部就班进行即可.

例5 若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形.

（1）操作：请你在图6所示的黄金矩形ABCD（ AB > AD）内，以短边 AD为一边作正方形AEFD.

（2）探究：四边形 EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由.

（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）.

解析：（1）在 AB 和DC上分别截取AE、DF，使AE =DF = AD ，连接 EF，则四边形 AEFD就是所求作的正方形（如图7）.

（2）四边形 EBCF 是黄金矩形.

证明：因为四边形 AEFD 是正方形，所以易知四边形EBCF是矩形.设AB=a，AD=b.

则=，所以= =－1=-1=.

所以，矩形EBCF是黄金矩形.

（3）在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。