《数据的代表》复习指导

朱元生

一、知识梳理

1. 平均数

（1）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，我们把（x1+x2+…+xn）叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，用表示.

（2）权：加权平均数中的权，表示各个数据的比重，反映了各个数据在这组数据中的重要程度.

（3）加权平均数：如果在n个数中，x1出现 f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk 次（f1+f2+…+fk=n），则=（x1 f1+x2 f2+…+xk fk）叫做加权平均数.

2. 中位数

（1）中位数的定义：一般地， n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数.

（2）中位数的求法：先将要求中位数的数据按从小到大（或从大到小）的顺序进行排列，然后根据数据个数确定中位数.若数据个数为奇数，则最中间的一个数据就是这组数据的中位数；若数据个数为偶数，则最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

注意：中位数不一定是这组数据中的数.

（3）中位数仅与数据的排列位置有关系.当一组数据的个别数据相差较大时，不宜用中位数来描述这组数据的集中趋势.

3. 众数

（1）众数的定义：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.

（2）众数的求法：①弄清各个数据重复出现的次数；②找出出现次数最多的数据.

注意：众数是出现次数最多的数据，而不是出现的次数；一组数据的众数有时不止一个，当出现次数最多的数据是n个时，则这组数据的众数就有n个.

（3）众数是对数据出现次数的考查，只与这组数据中部分数据有关.当一组数据中有数据多次重复出现，以至于其他数据的作用显得相对较小时，众数可以在某种意义上代表这组数据的整体情况.

二、重点、难点

1. 重点：平均数、中位数及众数的概念及有关计算.

2. 难点：加权平均数的理解和计算；不同情境中， 平均数、中位数及众数的比较与选择.

三、错解剖析

例1 众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区.他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（）.

A． 50，20B． 50，30C． 50，50D． 135，50

错解：选B.

剖析：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.在这组数据中，20出现1次，25出现1次，30出现1次，50出现3次，135出现1次.50是出现次数最多的数据，所以众数是50.

求一组数据的中位数，要先将这组数据按从小到大（或从大到小）的顺序进行排列，然后根据数据个数确定中位数.错解没有先将这组数据进行排列，就将最中间的数据30当成这组数据的中位数，导致错误.

正解：选C.

例2 在一次捐款活动中，某班50名同学都拿出了自己的零花钱，有捐5元、10元、20元的，还有捐50元和100元的.图1反映了不同捐款数的人数比例，那么，该班同学平均每人捐款元.

错解：=（5+10+20+50+100）=37，即为所求.

剖析：错解忽视了这些数据的“权”.扇形统计图反映了不同捐款数的人数比例，可以看出各个数据在这组数据中的重要程度（权重）不一样. 在扇形统计图中，可把各部分的百分数看做各部分的权重.认清数据及各数据对应的权重是解决此类题的关键.

正解：=5×8%+10×20%+20×44%+50×16%+100×12%=31.2，即为所求.

四、典例精析

例3 图2是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况．请分别计算出这些车辆行驶速度的平均数、中位数和众数.（结果精确到0.1）

分析：要正确运用计算一组数据的平均数、中位数和众数的方法进行计算，并注意本例的平均数是加权平均数.

解：从条形统计图可以看出，车速为50 km/h的有2辆，为51 km/h的有5辆，为52 km/h的有8辆，为53 km/h的有6辆，为54 km/h的有4辆，为55 km/h的有2辆，车辆总共为27辆.

这些车辆的平均速度为：

=（50×2+51×5+52×8+53×6+54×4+55×2）≈52.4（km/h）．

将这27个数据按从小到大的顺序排列，处于最中间位置的一个数是52， 因此中位数是52．在这27个数据中，52出现了8次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是52.

例4 汶川大地震牵动着全国亿万人民的心.某校为地震灾区开展了“献出我们的爱” 赈灾捐款活动．八（1）班50名同学积极参加了这次赈灾捐款活动.表1是小明对全班捐款情况的统计表.

表中有两处不慎被墨水污染，已无法看清，但已知全班平均每人捐款38元．

（1）请计算出被污染的数据，并写出解答过程.

（2）该班捐款的众数、中位数分别是多少？

分析：根据班级人数和表中人数可求得被污染处的人数，再根据全班平均每人捐款数可求得被污染处的捐款数，进而求得该班捐款的众数和中位数.

解：（1）由50-3-6-11-13-6=11，可知被污染处的人数为11.

设被污染处的捐款数为x，则3×10+6×15+11×30+11x+13×50+6×60=50×38.

解得x=40.即被污染处的捐款数为40.

（2）处于最中间位置的两个数都是40，因此这组数据的中位数是40.

在这50名同学中，捐款50元的同学最多，有13人，所以众数是50.

例5 某市广播电视局欲招聘播音员一名，对A、B两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如表2所示．根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3∶2的比例计算两人的总成绩.那么，谁将被录用？

分析：由于面试和综合知识测试的得分的重要程度不同，所以本题须用加权平均数公式来计算两人的成绩.

解：A==88 （分），B==89 （分）.

所以B将被录用.

点评：这是用加权平均数来解决实际问题的实例.权表示数据的重要程度.权有两种表示形式:百分数和整数比.

例6 （2008年·沈阳）在学校组织的主题为“喜迎奥运，知荣明耻，文明出行”的知识竞赛中，每班参赛的人数相同.成绩分为A，B，C，D四个等级，相应的得分依次为100分，90分，80分，70分.学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图（分别如图3、图4）.

请你根据以上提供的信息解答下列问题.

（1）此次竞赛中二班成绩在C级以上（包括C级）的人数为.

（2）将下面表格补充完整.

（3）从下列不同角度对这次竞赛成绩进行分析.

①从平均数和中位数的角度来比较一班和二班的成绩.

②从平均数和众数的角度来比较一班和二班的成绩.

③从B级以上（包括B级）的人数的角度来比较一班和二班的成绩．

解：（1）因为各班参赛的人数相同，从条形统计图上可以看出，各班的参赛人数均为25.从扇形统计图中可以看出，二班C级以上（包含C级）的人数占84%.所以此次竞赛中二班成绩在C级以上（包括C级）的人数为84%×25=21.

（2）根据上述两幅统计图可知，一班成绩的众数为90，二班成绩的中位数为80.

（3）略.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。