对造桥选址问题的思考

王宇刚

编者按：学习应有探究和反思的过程.在解决问题后同学们要进行深入的反思，总结规律，这样学习才会有收获和提高.为提高同学们发现问题、分析问题、思考问题和解决问题的能力，本刊特开设“探究与反思”栏目，针对某一知识点给同学们提出一些新的问题，并提供思考交流和发散的空间，逐步发现和认识问题的本质，激活同学们的思维，克服解决问题过程中的困难和障碍，进行深入的探究.目的是使同学们在探究中反思，在反思中提高.同学们探究过程中如有哪方面未解决的问题或感悟或困难，欢迎来信或发电子邮件过来，大家一起交流哦.

造桥选址问题是书上的一道题目，通过此题，同学们学了哪些知识呢？想知道造桥选址问题中蕴涵的数学道理吗？请看王老师为我们解析.

问题如图1，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

分析：本题是一个对平移知识的综合运用问题.我们学习过“两点之间线段最短”，本题也利用这一知识.不过本题还有一个条件，即修建的桥必须是与河岸垂直的.此时我们就应该想到，利用平移的知识，先将在桥上要走的路程放在开始走，然后就可以利用“两点之间线段最短”了.

作法：1.测量出桥的宽度；2.将点B沿与桥平行的方向，向上平移桥的宽度个单位到B′；3.连接A、B′交桥的一侧于M；4.过M作河岸的垂线，交河的另一侧于N；5.连接AM、MN、NB.则此时从A到B的路径AMNB最短.

说明：在本题中，桥必须与河岸垂直是一个需要突破的问题.我们将桥先平移到BB′，然后再作出A、B′之间的最短路径，这样问题就得以转化.本例充分应用了平移知识，解决了生活中的常见问题，是一个利用数学知识解决生活中的问题的很成功的例子.

思考：同学们在弄清了上面的方法以后，很自然地会产生这样的疑问：如果A、B两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是要与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的路径呢（如图2）？

分析：有了上面的经验，解决这个问题就要简单得多了.仿照以上思路，我们可以将两座桥先都平移到从B点出发的位置，然后连接A、B″，从而确定第一座桥MN的位置，之后连接N、B′，确定第二座桥QP的位置，最后连接PB.这样最短路径AMNQPB就确定了下来.

进一步的思考：其他条件不变，如图3，如果A、B两地之间有三条平行的河流呢？

沿着上面的思路，进一步思考，我们可以发现，其实不论多少条河流都可以用类似的方法，将规定要走的桥先走，确定两点之间的最短路径.然后一座桥、一座桥地确定位置.

拓展：如果在上述其他条件不变的情况下，两条河流并不是平行的（如图4），我们又应该如何着手呢？

显然思路是相同的，我们还是可以将沿不同方向的几座桥先平移到开始的位置，然后连接两点确定第一座桥的位置，进而确定第二座桥的位置.具体的作图见图4.

注意：在平移B点时，一定要将B点按照两座桥不同的方向平移.如BB′应该平行于第二座桥的方向，而B′B″应该平行于第一座桥的方向.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。