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对造桥选址问题的思考

2008-12-23王宇刚

关键词:造桥平行本题

王宇刚

编者按:学习应有探究和反思的过程.在解决问题后同学们要进行深入的反思,总结规律,这样学习才会有收获和提高.为提高同学们发现问题、分析问题、思考问题和解决问题的能力,本刊特开设“探究与反思”栏目,针对某一知识点给同学们提出一些新的问题,并提供思考交流和发散的空间,逐步发现和认识问题的本质,激活同学们的思维,克服解决问题过程中的困难和障碍,进行深入的探究.目的是使同学们在探究中反思,在反思中提高.同学们探究过程中如有哪方面未解决的问题或感悟或困难,欢迎来信或发电子邮件过来,大家一起交流哦.

造桥选址问题是书上的一道题目,通过此题,同学们学了哪些知识呢?想知道造桥选址问题中蕴涵的数学道理吗?请看王老师为我们解析.

问题如图1,A、B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)

分析:本题是一个对平移知识的综合运用问题.我们学习过“两点之间线段最短”,本题也利用这一知识.不过本题还有一个条件,即修建的桥必须是与河岸垂直的.此时我们就应该想到,利用平移的知识,先将在桥上要走的路程放在开始走,然后就可以利用“两点之间线段最短”了.

作法:1.测量出桥的宽度;2.将点B沿与桥平行的方向,向上平移桥的宽度个单位到B′;3.连接A、B′交桥的一侧于M;4.过M作河岸的垂线,交河的另一侧于N;5.连接AM、MN、NB.则此时从A到B的路径AMNB最短.

说明:在本题中,桥必须与河岸垂直是一个需要突破的问题.我们将桥先平移到BB′,然后再作出A、B′之间的最短路径,这样问题就得以转化.本例充分应用了平移知识,解决了生活中的常见问题,是一个利用数学知识解决生活中的问题的很成功的例子.

思考:同学们在弄清了上面的方法以后,很自然地会产生这样的疑问:如果A、B两地之间有两条平行的河流,我们要建的桥都是要与河岸垂直的,我们应该如何找到这个最短的路径呢(如图2)?

分析:有了上面的经验,解决这个问题就要简单得多了.仿照以上思路,我们可以将两座桥先都平移到从B点出发的位置,然后连接A、B″,从而确定第一座桥MN的位置,之后连接N、B′,确定第二座桥QP的位置,最后连接PB.这样最短路径AMNQPB就确定了下来.

进一步的思考:其他条件不变,如图3,如果A、B两地之间有三条平行的河流呢?

沿着上面的思路,进一步思考,我们可以发现,其实不论多少条河流都可以用类似的方法,将规定要走的桥先走,确定两点之间的最短路径.然后一座桥、一座桥地确定位置.

拓展:如果在上述其他条件不变的情况下,两条河流并不是平行的(如图4),我们又应该如何着手呢?

显然思路是相同的,我们还是可以将沿不同方向的几座桥先平移到开始的位置,然后连接两点确定第一座桥的位置,进而确定第二座桥的位置.具体的作图见图4.

注意:在平移B点时,一定要将B点按照两座桥不同的方向平移.如BB′应该平行于第二座桥的方向,而B′B″应该平行于第一座桥的方向.

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。

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