从北京奥运的喜庆灯笼说起

作者简介：王继延，理学硕士. 曾执教高中十余年，并任中学校长. 现为华东师范大学数学系教授，国家数学课程标准核心组成员，全国初中数学实验教科书（华东师大版）常务副主编，教育部基础司项目“全国初中毕业、升学考试评价”数学学科负责人. 作为主编或主要人员参与编写或翻译多本数学教育专业著作与教材，如《全国初中数学实验教科书》《基础教育新课程师资培训指导（初中数学）》《数学教与学研究手册》《数学教学理论选讲》《数学物理方程》《文科数学-数学思想和方法》与《高中数学选修读本》等书，在《人民教育》《数学学报》《高等数学研究》《生态学报》《数学教学》等杂志上发表多篇文章.

读者朋友，你会认识图形吗？你知道点、线、面之间的内在联系吗？你会逻辑推理吗？下面请王教授给你一一指点吧.

你可能还记得北京奥运会的精彩场面吧.那时全国各地喜气洋洋，走到街上，一眼望去，满街上喜庆的大红灯笼映红了大人小孩的脸庞；五个灵气十足的奥运福娃更是引来了大人小孩的频频欢呼.

你是否注意到那喜庆场面中形形色色的图案，形状、颜色不一的大红灯笼，“北京欢迎你”的奥运福娃，迎风招展的五星红旗……这一切都与我们今天所要讨论的话题——“图形的初步认识”有关.

走在街上，映入我们眼帘的都是一个个空间物体，若去掉一些外观的因素，剩下的就是由点、线、面组成的数学图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.实际上你从小就玩过这些形状的物体，现在你有了一些较为理性的认识，知道这些图形和那些有类似之处，也有相异的地方.你一定能从一大堆立体图形中挑选出你所喜欢的形状，搭起一座富有诗意的“建筑物”.

那么从数学的角度，如何认识立体图形呢？我们常见的方法就有三种.第一种是直观图，这是你在美术课上经常画的图形.第二种是三视图，人们发现只要知道从三个不同方向（正面、侧面与上面）所看到的物体的平面图形——主视图、侧视图与俯视图，就可以认识这个立体形状的物体.下面图1给出的就是远程直升飞机的三视图.你能猜出图2中的两组图形是哪两种图形的三视图吗？你还能画出由5个大小一样的长方体堆成的图形（如图3）的三视图吗？第三种就是立体图形的表面展开图.这也应该是你早就看到过的事实.中秋佳节，一家人会聚在一起，一边吃月饼，一边赏月，多么美好啊！那时你是否也会发现，将月饼包装盒打开摊平，就是一个长方体的表面展开图？当然为了能构成一个包装盒，它还多了一些边角料.当然不是每一个立体图形的表面都可以展开成平面图形，你最喜欢玩耍的圆球——篮球、排球、足球、乒乓球……它们的表面就无法展开成平面图形.以后你就会知道其中的奥秘了.现在请你试试看，相信你一定可以迅速说出下列各图形（如图4）分别是哪些多面体的表面展开图.

对于体与面的关系，我们还可以从其他角度加以分析.将一个平面图形绕着某一根轴旋转一周，便产生了一个立体图形.生活中，有时会看到这种景象：一扇门绕着门轴旋转一周，就产生了一个立体的圆柱.与“面的运动可以形成体”同样的道理，“线的运动可以形成面”，“点的运动可以形成线”.可以说，点和线是最基本的几何图形.有了点和线，就有了角.有了角，就可以研究线与线的相互关系——相交线和平行线.

不知你是否发现，原先较多采用的量一量、看一看的直观的方法，现在有了一些变化.那就是多了一些“说理”的数学形式过程.人们常说“言必有据”，也就是告诉我们，说话一定要有根据.

例如“对顶角相等”，我们可以对图形中的任意两个对顶角用量角器进行度量，发现它们都具有相等的关系；我们还可以将两个对顶角中的一个角绕着它的顶点旋转，观察发现它恰好能与另一个角重合，即两角相等.

这些都是实验操作的直观的方法，运用这样直观的方法，我们可以探索发现一些有用的结论，这是解决问题的开始，是一个重要的学习过程.然而度量可能会产生误差，旋转可能会因纸张的粗糙产生偏差.那么要使人们确信，就必须运用数学上的推理，即通常所说的“逻辑推理”.

下面就是“对顶角相等”的逻辑推理过程.

如图5，因∠1+∠2=180°（∠1，∠2互补），故∠1=180°-∠2（等式的性质）.又因∠3+∠2=180°（∠3，∠2互补），所以∠3=180°-∠2（等式的性质）.故∠1=∠3（等量代换）.同理可推得∠2=∠4.即对顶角相等.

你看，这里一步紧扣一步，步步有据，没有一点漏洞.尽管这些步骤看上去有点枯燥，但相信你经过一段时间的探索学习，一定会感到这同样也是数学的美！

试试看，相信你，一定可以完成以下这个问题：

在空白处填上正确的依据或结论.

如图6，已知∠1=∠B.

∴AD∥BC（）.

∴∠D+ =180°（两直线平行，同旁内角互补）.

数学学习离不开必要的数学说理，因此在你观察剖析、操作实验、归纳猜想的同时，也必须注意运用数学逻辑推理，务必使两者很好地有机结合.

现在再回过头去看看，你就会发现你已经认识了不少数学图形，有立体的，也有平面的.你对探索几何问题有了一些初步的体会，注意到解决问题需要将合情推理与逻辑推理两者结合，才能使你的聪明才智得到充分的发挥.

今天关于图形的话题，仅仅是你在初中阶段学习几何的开始，只是初步的认识.源自生活的几何图形的世界丰富多彩，形形色色的图形，各有各的特征，各有各的奥秘，有了它们的帮助，你的数学本领就会越来越大，你就可以描绘出更具诗意的画面.

最后，请你思考下面的问题，看自己能否独立解决.

如图7，让我们且用“纸板盒”来称呼一种用两个正方体黏合而成的长方体.我们将只认可这样的纸板盒组合体：其中每个纸板盒至少以一个整面（正方形或长方形）与另一个的其他部分黏合.在这种定义下，用两个纸板盒事实上只能构成两种组合体.那么，用三个纸板盒能构成多少种组合体呢？

提示：把三个纸板盒按题目要求组合起来的样式有11种，如果不是下意识地规定纸板盒在黏合时必须将正方体与正方体对齐，组合体还不止这些.取消了这一限制，就会有无穷多种组合体.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。