“平行线的识别与特征”复习点拨

周太军　刘乐爱

平行线的识别与特征是几何学的基础知识，是后续学习的基础，其地位相当重要.为了让同学们更好地掌握平行线的识别与特征，建议从以下两个方面来复习.

一、掌握平行线的识别与特征

（一）平行线的识别：

1.平行线的主要识别方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.

2.平行线识别的拓展：（1）利用定义；（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行，即a∥b，c∥b，则a∥c；（3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行，即a⊥b，c⊥b，则a∥c.

3.如果从角的关系（同位角相等，内错角相等，同旁内角互补）得到的结论是两直线平行，那么用平行线的识别方法找平行条件.

例1如图1，请你添加一个关于角的条件，使得直线AB与CD平行.

分析：要找AB与CD平行的条件，因为AB与CD被图中的其他直线所截，分析它们与截线构成的角的关系，找出一个符合平行的条件即可.

解：要使AB∥CD，只需下列条件之一成立即可.（1）以AD为截线，∠D+∠BAD=180°；（2）以AC为截线，∠CAB=∠ACD；（3）以BC为截线，∠DCB+∠B=180°；（4）以CF为截线，∠DCF=∠BFC或∠DCF+∠AFC=180°；（5）以AE为截线，∠DEA=∠BAE或∠AEC+∠BAE=180°.

评注：（1）解决此问题的关键是确定截线，然后找出符合平行条件的角.（2）这是一个探究题设、结果不唯一的开放性问题，解答这类问题，有利于培养同学们的发散思维能力.

（二）平行线的特征：

两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.

例2如图2，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A∶∠ABC=2∶1，求∠ADB的度数.

解：因AD∥BC，所以∠A+∠ABC=180°.因∠A∶∠ABC=2∶1，所以∠A=2∠ABC.所以∠ABC=60°.因BD平分∠ABC，所以∠DBC=1/2∠ABC=30°.因AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC=30°.

评注：解题的关键是从复杂图形中找出可应用平行线的特征的基本图形.当以AB为截线时，∠A与∠ABC为同旁内角；当以DB为截线时，∠ADB与∠DBC为内错角.我们一定要学会识图，正确利用平行线的特征，再结合已知条件得出结论.

二、理解平行线的识别与特征的区别和联系

1.平行线的识别与特征的相同点：（1）几何图形相同：都是两直线被第三条直线所截时形成的“三线八角”；（2）两者都以两直线、同位角、内错角、同旁内角为主线，又都以平行、相等或互补为关键词；（3）两者都以“三线八角”内容为基础，又都是“三线八角”内容的提高.

2.平行线的识别与特征的区别：（1）因果关系不同：识别以角（同位角、内错角、同旁内角）相等或互补为“因”，以两直线平行为“果”，且是一“因”致一“果”.（2）几何内涵不同：平行线的识别阐明的是两直线在什么条件下平行，是识别直线平行的依据；平行线的特征阐明的是“三线八角”中的两直线平行将会有怎样的结果.（3）几何概念的排列结构不同：平行线的识别是由角的相等或互补关系推出直线的平行关系，是从角到直线的推导过程；平行线的特征是由直线的平行关系推导出角的相等或互补关系，是由直线到角的推导过程.（4）几何特征与度量不同：平行线的识别是由角的度量关系（相等或互补）推出直线的位置关系（平行），而平行线的特征则相反.（5）应用不同：当已知“三线八角”中的三类角有相等或互补关系时，可根据平行线的识别得出两条直线平行的结论；当已知两条直线平行时，可由平行线的特征得出相关的角相等或互补的结论.

3.联系：（1）平行线的识别和特征的条件和结论是互逆的形式.（2）在同一几何题的推理或解答中，往往既要利用平行线的识别，又要利用平行线的特征.常常是由平行线的识别得出的结论，又被当做平行线的特征的条件利用，反之亦然.（3）同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行，这四者之间存在下面的推理关系.

平行线的识别与特征的综合应用有如下两种形式：（1）角与角的数量关系?圯线与线的位置关系?圯角与角的数量关系；（2）线与线的位置关系?圯角与角的数量关系?圯线与线的位置关系.同时在综合应用两者时，要正确区别两者的题设和结论，切忌混淆和乱用平行线的识别和特征.

例3如图3，CD⊥AB，FG⊥AB，∠EDC=∠GFB，求证：DE∥BC.

分析：要证明DE∥BC，只需证DE、BC被AB截得的同位角相等或内错角相等或同旁内角互补；或只需证DE、BC被AC截得的同位角相等或同旁内角互补；或只需证DE、BC被DC截得的内错角相等.而由已知可知，只需证∠EDC=∠DCB即可.

证明：因CD⊥AB，FG⊥AB，所以FG∥DC.所以∠GFB=∠DCB.因∠EDC=∠GFB，所以∠EDC=∠DCB.所以DE∥BC.

评注：本题的分析思路是要证DE∥BC，只需证∠EDC=∠DCB，这叫“从已知，看未知”，如何才能得到∠EDC=∠DCB呢？只好从已知中寻找，这叫“从已知，找可知”.当需知变成可知时，问题就解决了.这是一种分析问题和解决问题的方法，请同学们认真领会并熟悉这种证题方法.本题在证明过程中既运用了平行线的识别，又应用了平行线的特征.

思考题如图4，AB∥CD，同位角∠MEB和∠MQD的平分线EF、QH有何位置关系？为什么？

提示：要判断EF、QH的位置关系，只要判断EF、QH被MN截得的同位角∠MEF、∠MQH之间的数量关系即可.